【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別為E、F.
(1)求證:ED是⊙O的切線;
(2)若DF=3,cosA=,求⊙O的直徑.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;
(2)⊙O的直徑為.
【解析】
試題分析:(1)連結(jié)OD、BD,先根據(jù)圓周角定理得到∠BDC=90°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD=CD,則可判斷OD為△ABC的中位線,所以O(shè)D∥AB,加上DE⊥AB,則DE⊥OD,然后根據(jù)切線的判定定理得ED是⊙O的切線;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AB=AC得到∠A=∠C,在Rt△CFD中利用余弦定理得到cosC==cosA=,則可設(shè)CF=2x,CD=3x,利用勾股定理得到DF=x,所以x=3,解得x=3,于是計(jì)算出CD=9,然后在Rt△BCD中利用余弦的定義計(jì)算出BC的長(zhǎng)即可.
試題解析:(1)連結(jié)OD、BD,∵BC為直徑,∴∠BDC=90°,∴BD⊥AC,
而B(niǎo)A=BC,∴AD=CD,而OB=OC,∴OD為△ABC的中位線,∴OD∥AB,
∵DE⊥AB,∴DE⊥OD,∴ED是⊙O的切線;
(2)∵AB=AC,∴∠A=∠C,在Rt△CFD中,cosC==cosA=,
設(shè)CF=2x,CD=3x,
∴DF==x,∴x=3,解得x=3,∴CD=9,
在Rt△BCD中,∵cosC==,∴BC=×9=,
即⊙O的直徑為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB、CD為兩個(gè)建筑物,建筑物AB的高度為60米,從建筑物AB的頂點(diǎn)A點(diǎn)測(cè)得建筑物CD的頂點(diǎn)C點(diǎn)的俯角∠EAC為30°,測(cè)得建筑物CD的底部D點(diǎn)的俯角∠EAD為45°.
(1)求兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度;
(2)求建筑物CD的高度(結(jié)果保留根號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】臺(tái)灣是我國(guó)最大的島嶼,總面積為35989.76平方千米,這個(gè)數(shù)字用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為_____平方千米(精確到百位).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線p:y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′,我們稱以A為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)C′,對(duì)稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢(mèng)之星”拋物線,直線AC′為拋物線p的“夢(mèng)之星”直線.若一條拋物線的“夢(mèng)之星”拋物線和“夢(mèng)之星”直線分別是y=x2+2x+1和y=2x+2,則這條拋物線的解析式為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB,DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M,N.當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)(如圖1),易證BM+DN=MN.
(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)(如圖2),線段BM,DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫(xiě)出猜想,并加以證明.
(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí),線段BM,DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.
(1)線段CD是線段AB經(jīng)過(guò)怎樣的平移后得到的?
(2)線段AC是線段BD經(jīng)過(guò)怎樣的平移后得到的?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)E是ABCD中BC邊的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)連接AC,BF,若∠AEC=2∠ABC,求證:四邊形ABFC為矩形;
(2)在(1)的條件下,若△AFD是等邊三角形,且邊長(zhǎng)為4,求四邊形ABFC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】今年我國(guó)糧食生產(chǎn)首次實(shí)現(xiàn)了建國(guó)以來(lái)的“十連增”,全年糧食產(chǎn)量突破12000億斤.將1 200 000 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 12×1011 B. 1.2×1011 C. 1.2×1012 D. 0.12×1013
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列4個(gè)命題:①對(duì)頂角相等;②同位角相等;③在同一個(gè)圓中,同一條弦所對(duì)的圓周角都相等;④圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).其中,真命題為( )
A. ①②④B. ①③④C. ①④D. ①②③④
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