Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，O為AB上一點，OA=，以O為圓心，OA為半徑作圓．
（1）試判斷⊙O與BC的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O與AC交于點另一點D，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點O作OE⊥BC，先根據勾股定理計算出AB=10，則OB=AB-OA=10-=，根據相似三角形的判定方法易得△BOE∽△BAC，則OE：AC=OB：AB，即OE：6=：10，可計算得OE=，由于圓的半徑OA=，根據切線的判定方法得到⊙O與BC相切；
（2）作OF⊥AC于F點，根據垂徑定理得AF=DF，根據相似三角形的判定方法易得△AOF∽△ABC，則AF：AC=AO：AB，即AF：6=：10，可計算得AF=，則AD=2AF=，然后理由CD=AC-AD進行計算即可．
解答：解：（1）⊙O與BC相切．理由如下：
過點O作OE⊥BC，如圖，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∴OB=AB-OA=10-=，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴OE：AC=OB：AB，即OE：6=：10，
∴OE=，
∴OE=OA，
而OE⊥BC
∴⊙O與BC相切；

（2）作OF⊥AC于F點，則AF=DF，如圖，
∵∠C=90°，
∴OF∥BC，
∴△AOF∽△ABC，
∴AF：AC=AO：AB，即AF：6=：10，
∴AF=，
∴AD=2AF=，
∴CD=AC-AD=6-=．
點評：本題考查了圓的切線的判定：如果圓心到直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線為圓的切線．也考查了勾股定理、垂徑定理以及相似三角形的判定與性質．