Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為12，點E是射線BC上的一個動點，連接AE并延長，交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折，點B落在點B＇處．

（1）當(dāng)＝1時，如圖1，延長A B＇，交CD于點M，①CF的長為 ；②求證：AM＝FM．

（2）當(dāng)點B＇恰好落在對角線AC上時，如圖2，此時CF的長為 ； ＝ ．

（3）當(dāng)＝3時，求∠DA B＇的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）①CF的長為12；②證明見解析；

2）CF的長為12， ＝；

（3）當(dāng)時，∠DA B＇的正弦值為或．

【解析】解：（1）①CF的長為 12 ；

②證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB∥CD，∴∠ F＝∠ BAF，

由折疊可知：∠ BAF＝∠ MAF，

∴∠ F＝∠ MAF，∴AM＝FM．

（2）CF的長為12；

＝．

（3）①當(dāng)點E在線段BC上時，如圖3，

A B＇的延長線交CD于點M，易證：△ABE∽△FCE，

∴，即，∴CF＝4，

由（1）②證明可知：

AM＝FM．設(shè)DM＝x，則MC＝12－x，則AM＝FM＝16－x，

在Rt△ADM中， ，

即（16－x）2＝122＋x2，解得：x＝，

則16－x＝16－＝，

∴sin∠DA B＇＝＝．

②當(dāng)點E在BC的延長線上時，如圖4，

易證：△ABE∽△FCE，

∴，即，∴CF＝4，

則DF＝12－4＝8，設(shè)DM＝x，則AM＝FM＝8＋x，

在Rt△ADM中， ，

即（8＋x）2＝122＋x2，解得：x＝5，則AM＝8＋x＝13，

∴sin∠DA B＇＝＝．

綜上所述：當(dāng)時，∠DA B＇的正弦值為或．