Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，C在x軸的正半軸上，已知A（0，8）、C（10，0），作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥CD交OA于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求證：△ADE≌△BCD；

（3）拋物線y＝x2﹣x+8經(jīng)過點(diǎn)A、C，連接AC．探索：若點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)M．是否存在點(diǎn)P，使線段MP的長度有最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（8，8）；（2）詳見解析；（3）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，﹣6）．

【解析】

（1）利用角平分線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)得出∠ADO＝∠DOC，以及∠AOD＝∠ADO，進(jìn)而得出答案；

（2）利用全等三角形的判定方法（ASA）即可得出答案；

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t， t2﹣t+8），設(shè)AC所在的直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，根據(jù)A（0，8）、C（10，0），求出AC的解析式，進(jìn)而用t表示出PM的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PM的最值，點(diǎn)P的坐標(biāo)也可以求出．

解：（1）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC．

∵四邊形AOCB是矩形，

∴AB∥OC

∴∠AOD＝∠DOC

∴∠AOD＝∠ADO．

∴OA＝AD（等角對等邊）．

∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，8），

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，8）

（2）∵四邊形AOCB是矩形，

∴∠OAB＝∠B＝90°，BC＝OA．

∵OA＝AD，

∴AD＝BC．

∵ED⊥DC

∴∠EDC＝90°

∴∠ADE+∠BDC＝90°

∴∠BDC+∠BCD＝90°．

∴∠ADE＝∠BCD．

在△ADE和△BCD中，

∵∠DAE＝∠B，AD＝BC，∠ADE＝∠BCD，

∴△ADE≌△BCD（ASA）

（3）存在，

∵二次函數(shù)的解析式為：，點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，

∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t， t2﹣t+8）

設(shè)AC所在的直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，

∵A（0，8）、C（10，0），

∴ ，解得

∴直線AC的解析式y(tǒng)=-．

∵PM∥y軸，

∴M（t，-）．

∴PM＝﹣（　 t2﹣t+8）+（-）＝- (t-5)2+10．

∴當(dāng)t＝5時，PM有最大值為10．

∴所求的P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，﹣6）．