Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,頂點為(4,1)的拋物線交y軸于A點,交x軸于B,C兩點(點B在點C的左側(cè)),已知A點坐標(biāo)為(0,3).

（1）求此拋物線的解析式；

（2）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時，△PAC的面積最大?并求出此時P點的坐標(biāo)和△PAC的最大面積；

（3）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明.

Answer 1

【答案】（1） （2）P點的坐標(biāo)為；（3）相交．證明解解析.

【解析】分析：（1）已知拋物線的頂點坐標(biāo)，可用頂點式設(shè)拋物線的解析式，然后將A點坐標(biāo)代入其中，即可求出此二次函數(shù)的解析式；
（2）過P作y軸的平行線，交AC于Q；易求得直線AC的解析式，可設(shè)出P點的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，也就得出了PQ的長；然后根據(jù)三角形面積的計算方法，可得出關(guān)于的面積與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最大面積及對應(yīng)的P點坐標(biāo)．

（3）根據(jù)拋物線的解析式，易求得對稱軸的方程及B、C的坐標(biāo)，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可；

詳解：（1）設(shè)拋物線為

∵拋物線經(jīng)過點A（0，3），

∴

∴拋物線為

（2）如圖，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q；

可求出AC的解析式為

設(shè)P點的坐標(biāo)為

則Q點的坐標(biāo)為

∴

∵

∴當(dāng)m=3時，的面積最大為；

此時，P點的坐標(biāo)為．

（3）相交．證明：連接CE，則，

當(dāng)時，

A(0,3),B(2,0),C(6,0)，

對稱軸x=4，

∴ ,

∵AB⊥BD，

∴

∴△AOB∽△BEC，

∴

∵

∴拋物線的對稱軸與⊙C相交．