Question

【題目】問題探究

(1)如圖①，在△ABC 中，∠B=30°，E 是 AB 邊上的點，過點 E 作 EF⊥BC 于 F，則的值為 .

（2）如圖②，在四邊形 ABCD 中，AB=BC=6,∠ABC=60°，對角線 BD 平分∠ABC，點E 是對角線 BD 上一點，求 AE+ BE的最小值.

問題解決

（3）如圖③，在平面直角坐標系中，直線 y -x 4 分別于 x 軸，y 軸交于點 A、B，點 P 為直線 AB 上的動點，以 OP 為邊在其下方作等腰 Rt△OPQ 且∠POQ=90°.已知點C（0，-4），點 D（3,0）連接 CQ、DQ,那么DQ CQ是否存在最小值，若存在求出其最小值及此時點 P 的坐標，若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)4.

【解析】

(1)利用直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可;

(2) 作EF⊥BC于F, 根據(jù)直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得到AE+BE=AE+EF ，再根據(jù)勾股定理得到AE+BE的最小值;

(3) 作PM⊥y軸于M,QN⊥y軸于N,易證△POM≌△OQN，根據(jù)當、Q、N共線時，Q+NQ最小求解即可.

解;(1) ∵EF⊥BC, ∴∠BFE=90°, ∵∠B=30°, ∴=;

(2)作EF⊥BC于F, ∵∠ABC=60°，對角線 BD 平分∠ABC，∴∠DBC=30°, ∴∠EF=BE, ∴AE+BE=AE+EF, ∴當點A、E、F三點在一條直線時，AE+BE 最小，∵∠ABF=60°, ∴∠BAF=30°, ∵AB=6, ∴BF=AB=3, ∴AF= , ∴AE+BE的最小值為.

(3) ∵y=-x+4, ∴B(0,4),A(4,0),

作PM⊥y軸于M,QN⊥y軸于N, ∴∠PMO=∠QNO=90°, ∵∠POM+MPO=∠POM+∠QON=90°∴∠MPO=∠QON, ∵PO=QO, ∴△POM≌△OQN,設BM=PM=ON=t,則OM=NQ=CN=4-t, ∴無論P在任何位置△CNQ都為等腰三角形，∠NCQ=45°,則Q點永遠在直線AC上，作D點關于直線AC的對稱點 , ∵D(3,0), ∴(4,-1),則DQ+NQ=Q+NQ, ∴當、Q、N共線時，Q+NQ最小，最小值是N=4.