Question

如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一條弧，點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與A、D不重合），過E作AC所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)

1.當(dāng)∠DEF＝時(shí)，試說明點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；

2.設(shè)AE＝，F(xiàn)C＝，用含有的代數(shù)式來表示，并寫出的取值范圍

3.如果把△DEF沿直線EF對(duì)折后得△，如圖2，當(dāng) 時(shí)，討論△與△是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要寫出結(jié)論，不要求寫出理由．

 

Answer 1

 

1.∵∠DEF=45°，

∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．

∴∠DFE=∠DEF．

∴DE=DF．

又∵AD=DC，

∴AE=FC．

∵AB是圓B的半徑，AD⊥AB，

∴AD切圓B于點(diǎn)A．

同理：CD切圓B于點(diǎn)C．

又∵EF切圓B于點(diǎn)G，

∴AE=EG，F(xiàn)C=FG．

∴EG=FG，即G為線段EF的中點(diǎn)．

2.根據(jù)（1）中的線段之間的關(guān)系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，

根據(jù)勾股定理，得：

（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²

∴y=（0＜x＜1）．

3.當(dāng)EF= 時(shí)，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，

即x+ =，

解得x₁= 或x₂= ．

①當(dāng)AE= 時(shí)，△AD₁D∽△ED₁F，

證明：設(shè)直線EF交線段DD₁于點(diǎn)H，由題意，得：

△EDF≌△ED₁F，EF⊥DD₁且DH=D₁H．

∵AE= ，AD=1，

∴AE=ED．

∴EH∥AD₁，∠AD₁D=∠EHD=90°．

又∵∠ED₁F=∠EDF=90°，

∴∠ED₁F=∠AD₁D．

∴△ED₁F∽△AD₁D．

②當(dāng)AE= 時(shí)，△ED₁F與△AD₁D不相似．

解析:此題綜合運(yùn)用了切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠發(fā)現(xiàn)正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)進(jìn)行分析證明