如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE,且正方形對(duì)角線交于點(diǎn)O,連接OC,已知AC=5,OC=6
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,求另一直角邊BC的長(zhǎng).
分析:過O作OF⊥BC,過A作AM⊥OF,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠AOB=90°,OA=OB,求出∠BOF=∠OAM,根據(jù)AAS證△AOM≌△BOF,推出AM=OF,OM=FB,求出四邊形ACFM為矩形,推出AM=CF,AC=MF=5,得出等腰三角形三角形OCF,根據(jù)勾股定理求出CF=OF=6,求出BF,即可求出答案.
解答:解:
過O作OF⊥BC于F,過A作AM⊥OF于M,
∵∠ACB=90°,
∴∠AMO=∠OFB=90°,∠ACB=∠CFM=∠AMF=90°,
∴四邊形ACFM是矩形,
∴AM=CF,AC=MF=5,
∵四邊形ABDE為正方形,
∴∠AOB=90°,OA=OB,
∴∠AOM+∠BOF=90°,
又∵∠AMO=90°,
∴∠AOM+∠OAM=90°,
∴∠BOF=∠OAM,
在△AOM和△OBF中
∠OAM=∠BOF
∠AMO=∠OFB
OA=OB

∴△AOM≌△OBF(AAS),
∴AM=OF,OM=FB,
∴OF=CF,
∵∠CFO=90°,
∴△CFO是等腰直角三角形,
∵OC=6
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,由勾股定理得:CF=OF=6,
∴BF=OM=OF-FM=6-5=1,
∴BC=6+1=7.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰直角三角形,勾股定理,正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力,有一定的難度.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),以AE為直徑的⊙O過點(diǎn)D,且交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點(diǎn)D,求點(diǎn)D到BC的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個(gè)30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動(dòng),使這個(gè)30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點(diǎn)E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
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,則cos∠CBD的值是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn),連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)B停止.點(diǎn)P在AD上以
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cm/s的速度運(yùn)動(dòng),在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點(diǎn)M落在線段AC上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DP的長(zhǎng)為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí),求t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí),設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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