Question

【題目】如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F，且AF=BD，連接BF．

（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；

（2）若AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）若AB=AC，則四邊形AFBD是矩形．理由見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）因?yàn)锳F∥BC，E為AD的中點(diǎn)，即可根據(jù)AAS證明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；
（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四邊形AFDC是平行四邊形，又因?yàn)锳D=CF，故可根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形進(jìn)行判定．

詳解：（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD，

∴D是BC的中點(diǎn)；

（2）解：若AB=AC，則四邊形AFBD是矩形．理由如下：

∵△AEF≌△DEC，

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD；

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴平行四邊形AFBD是矩形．