Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點M的坐標(biāo)為（2，8），點N的坐標(biāo)為（2，6），將線段MN向右平移4個單位長度得到線段PQ（點P和點Q分別是點M和點N的對應(yīng)點），連接MP、NQ，點K是線段MP的中點．

（1）求點K的坐標(biāo)；

（2）若長方形PMNQ以每秒1個單位長度的速度向正下方運動，（點A、B、C、D、E分別是點M、N、Q、P、K的對應(yīng)點），當(dāng)BC與x軸重合時停止運動，連接OA、OE，設(shè)運動時間為t秒，請用含t的式子表示三角形OAE的面積S（不要求寫出t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，連接OB、OD，問是否存在某一時刻t，使三角形OBD的面積等于三角形OAE的面積？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，8）（2）S△OAE＝8﹣t（3）2秒或6秒

【解析】

（1）根據(jù)M和N的坐標(biāo)和平移的性質(zhì)可知：MN∥y軸∥PQ，根據(jù)K是PM的中點可得K的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形面積公式可得三角形OAE的面積S；
（3）存在兩種情況：
①如圖2，當(dāng)點B在OD上方時
②如圖3，當(dāng)點B在OD上方時，
過點B作BG⊥x軸于G，過D作DH⊥x軸于H，分別根據(jù)三角形OBD的面積等于三角形OAE的面積列方程可得結(jié)論．

（1）由題意得：PM＝4，

∵K是PM的中點，

∴MK＝2，

∵點M的坐標(biāo)為（2，8），點N的坐標(biāo)為（2，6），

∴MN∥y軸，

∴K（4，8）；

（2）如圖1所示，延長DA交y軸于F，

則OF⊥AE，F(xiàn)（0，8﹣t），

∴OF＝8﹣t，

∴S△OAE＝OFAE＝（8﹣t）×2＝8﹣t；

（3）存在，有兩種情況：，

①如圖2，當(dāng)點B在OD上方時，

過點B作BG⊥x軸于G，過D作DH⊥x軸于H，則B（2，6﹣t），D（6，0），

∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6，

S△OBD＝S△OBG+S四邊形DBGH+S△ODH，

＝OGBG+（BG+DH）GH﹣OHDH，

＝×2（6-t）+×4（6﹣t+8﹣t）﹣×6（8﹣t），

＝10﹣2t，

∵S△OBD＝S△OAE，

∴10﹣2t＝8﹣t，

t＝2；

②如圖3，當(dāng)點B在OD上方時，

過點B作BG⊥x軸于G，過D作DH⊥x軸于H，

則B（2，6﹣t），D（6，8﹣t），

∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6，

S△OBD＝S△ODH﹣S四邊形DBGH﹣S△OBG，

＝OHDH﹣（BG+DH）GH﹣OGBG，

＝×2（8-t）﹣×4（6﹣t+8﹣t）﹣×2（6﹣t），

＝2t﹣10，

∵S△OBD＝S△OAE，

∴2t﹣10＝8﹣t，

t＝6；

綜上，t的值是2秒或6秒．