(2012•廣州)如圖,拋物線y=-
3
8
x2-
3
4
x+3
與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點(diǎn),當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若直線l過點(diǎn)E(4,0),M為直線l上的動點(diǎn),當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個時,求直線l的解析式.
分析:(1)A、B點(diǎn)為拋物線與x軸交點(diǎn),令y=0,解一元二次方程即可.
(2)根據(jù)題意求出△ACD中AC邊上的高,設(shè)為h.在坐標(biāo)平面內(nèi),作AC的平行線,平行線之間的距離等于h.根據(jù)等底等高面積相等,可知平行線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的D點(diǎn).
從一次函數(shù)的觀點(diǎn)來看,這樣的平行線可以看做是直線AC向上或向下平移而形成.因此先求出直線AC的解析式,再求出平移距離,即可求得所作平行線的解析式,從而求得D點(diǎn)坐標(biāo).
注意:這樣的平行線有兩條,如答圖1所示.
(3)本問關(guān)鍵是理解“以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個”的含義.
因?yàn)檫^A、B點(diǎn)作x軸的垂線,其與直線l的兩個交點(diǎn)均可以與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,這樣已經(jīng)有符合題意的兩個直角三角形;第三個直角三角形從直線與圓的位置關(guān)系方面考慮,以AB為直徑作圓,當(dāng)直線與圓相切時,根據(jù)圓周角定理,切點(diǎn)與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.從而問題得解.
注意:這樣的切線有兩條,如答圖2所示.
解答:解:(1)令y=0,即-
3
8
x2-
3
4
x+3
=0,
解得x1=-4,x2=2,
∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-4,0)、B(2,0).

(2)拋物線y=-
3
8
x2-
3
4
x+3
的對稱軸是直線x=-
-
3
4
2×(-
3
8
)
=-1,
即D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1,
S△ACB=
1
2
AB•OC=9,
在Rt△AOC中,AC=
OA2+OC2
=
42+32
=5,
設(shè)△ACD中AC邊上的高為h,則有
1
2
AC•h=9,解得h=
18
5

如答圖1,在坐標(biāo)平面內(nèi)作直線平行于AC,且到AC的距離=h=
18
5
,這樣的直線有2條,分別是l1和l2,則直線與對稱軸x=-1的兩個交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D.
設(shè)l1交y軸于E,過C作CF⊥l1于F,則CF=h=
18
5
,
∴CE=
CF
sin∠CEF
=
CF
sin∠OCA
=
18
5
4
5
=
9
2

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,將A(-4,0),C(0,3)坐標(biāo)代入,
得到
-4k+b=0
b=3
,解得
k=
3
4
b=3
,
∴直線AC解析式為y=
3
4
x+3.
直線l1可以看做直線AC向下平移CE長度單位(
9
2
個長度單位)而形成的,
∴直線l1的解析式為y=
3
4
x+3-
9
2
=
3
4
x-
3
2

則D1的縱坐標(biāo)為
3
4
×(-1)-
3
2
=-
9
4
,∴D1(-1,-
9
4
).
同理,直線AC向上平移
9
2
個長度單位得到l2,可求得D2(-1,
27
4

綜上所述,D點(diǎn)坐標(biāo)為:D1(-1,-
9
4
),D2(-1,
27
4
).

(3)如答圖2,以AB為直徑作⊙F,圓心為F.過E點(diǎn)作⊙F的切線,這樣的切線有2條.
連接FM,過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N.
∵A(-4,0),B(2,0),
∴F(-1,0),⊙F半徑FM=FB=3.
又FE=5,則在Rt△MEF中,
ME=
52-32
=4,sin∠MFE=
4
5
,cos∠MFE=
3
5

在Rt△FMN中,MN=MF•sin∠MFE=3×
4
5
=
12
5
,
FN=MF•cos∠MFE=3×
3
5
=
9
5
,則ON=
4
5
,
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(
4
5
12
5

直線l過M(
4
5
,
12
5
),E(4,0),
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,則有
4
5
k+b=
12
5
4k+b=0
,解得
k=-
3
4
b=3
,
所以直線l的解析式為y=-
3
4
x+3.
同理,可以求得另一條切線的解析式為y=
3
4
x-3.
綜上所述,直線l的解析式為y=-
3
4
x+3或y=
3
4
x-3.
點(diǎn)評:本題解題關(guān)鍵是二次函數(shù)、一次函數(shù)以及圓等知識的綜合運(yùn)用.難點(diǎn)在于第(3)問中對于“以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個”條件的理解,這可以從直線與圓的位置關(guān)系方面入手解決.本題難度較大,需要同學(xué)們對所學(xué)知識融會貫通、靈活運(yùn)用.
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2
2

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(2)若點(diǎn)N在(1)中的⊙P′上,求PN的長.

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(1)當(dāng)α=60°時,求CE的長;
(2)當(dāng)60°<α<90°時,
①是否存在正整數(shù)k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
②連接CF,當(dāng)CE2-CF2取最大值時,求tan∠DCF的值.

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