【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點,拋物線yax+3)(x1)(a0)與x軸交于AB兩點(點A在點B的左側(cè)).

1)求點A與點B的坐標(biāo);

2)若a,點M是拋物線上一動點,若滿足∠MAO不大于45°,求點M的橫坐標(biāo)m的取值范圍.

3)經(jīng)過點B的直線lykx+by軸正半軸交于點C.與拋物線的另一個交點為點D,且CD4BC.若點P在拋物線對稱軸上,點Q在拋物線上,以點BD,PQ為頂點的四邊形能否成為矩形?若能,求出點P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

【答案】1A(﹣3,0),B1,0);(2M4,7);﹣2m4;(3)點P的坐標(biāo)為P(﹣1,4)或(﹣1,).

【解析】

1yax+3)(x1),令y0,則x1或﹣3,即可求解;

2)分∠MAO=45°,M′AO=45°兩種情況,分別求解即可;

3)分當(dāng)BD是矩形的邊, BD是矩形的邊兩種情況,分別求解即可.

1yax+3)(x1),令y0,則x1或﹣3,

故點AB的坐標(biāo)分別為:(﹣3,0),(1,0);

2)拋物線的表達式為:yx+3)(x1)①,

當(dāng)∠MAO45°時,如圖所示,則直線AM的表達式為:yx②,

聯(lián)立①②并解得:mx4或﹣3(舍去﹣3),故點M4,7);

②∠MAO45°時,

同理可得:點M(﹣2,﹣1);

故:﹣2m4;

3)①當(dāng)BD是矩形的對角線時,如圖2所示,

過點Qx軸的平行線EF,過點BBEEF,過點DDFEF,

拋物線的表達式為:yax2+2ax3a,函數(shù)的對稱軸為:x1,

拋物線點A、B的坐標(biāo)分別為:(﹣3,0)、(1,0),則點P的橫坐標(biāo)為:1,OB1,

CD4BC,則點D的橫坐標(biāo)為:﹣4,故點D(﹣4,5a),即HD5a,

線段BD的中點K的橫坐標(biāo)為:,則點Q的橫坐標(biāo)為:﹣2,

則點Q(﹣2,﹣3a),則HFBE3a,

∵∠DQF+BQE90°,∠BQE+QBE90°,

∴∠QBE=∠DQF,

∴△DFQ∽△QEB,則,,解得:a(舍去負值),

同理△PGB≌△DFQAAS),

PGDF8a4,故點P(﹣1,4);

②如圖3,當(dāng)BD是矩形的邊時,

DIx軸,QNx軸,過點PPLDI于點L,

同理△PLD≌△BNQAAS),

BNPL3,

∴點Q的橫坐標(biāo)為4,則點Q4,21a),

QNDL21a,同理△PLD∽△DIB,

,即,解得:a(舍去負值),

LI26a,故點P(﹣1, );

綜上,點P的坐標(biāo)為:P(﹣1,4)或(﹣1, ).

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2018年參觀故宮觀眾年齡頻數(shù)分布表

年齡x/

頻數(shù)/人數(shù)

頻率

20≤x30

80

b

30≤x40

a

0.240

40≤x50

35

0.175

50≤x60

37

c

合計

200

1.000

1)求表中a,b,c的值;

2)補全頻數(shù)分布直方圖;

3)從數(shù)據(jù)上看,年輕觀眾(20≤x40)已經(jīng)成為參觀故宮的主要群體.如果今年參觀故宮人數(shù)達到2000萬人次,那么其中年輕觀眾預(yù)計約有 萬人次.

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