Question

（2012•嘉定區(qū)二模）已知⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)T，經(jīng)過點(diǎn)T的任一直線分別與⊙O₁、⊙O₂交于點(diǎn)A、B，
（1）若⊙O₁、⊙O₂是等圓（如圖1），求證：AT=BT；
（2）若⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為R、r（如圖2），試寫出線段AT、BT與R、r之間始終存在的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．

Answer 1

分析：（1）連接O₁O₂，如圖1所示，根據(jù)兩圓外切時，兩圓心連線過切點(diǎn)，得到O₁O₂過T點(diǎn)，由垂直得到一對直角相等，再由對頂角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△O₁CT與△O₂DT，由相似得比例，又兩圓為等圓，半徑相等可得出，可得出CT=DT，又O₁C⊥AT，利用垂徑定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代換可得出AT=BT，得證；
（2）線段AT、BT與R、r之間始終存在的數(shù)量關(guān)系是

AT

BT

=

R

r

，理由為：連接O₁O₂，如圖2所示，根據(jù)兩圓外切時，兩圓心連線過切點(diǎn)，得到O₁O₂過T點(diǎn)，由垂直得到一對直角相等，再由對頂角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△O₁CT與△O₂DT，由相似得比例，將O₁T=R，O₂T=r代入，得到CT與DT的比值為R：r，又O₁C⊥AT，利用垂徑定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代換可得出AT與BT的比值為R：r．

解答：證明：（1）連接O₁O₂，如圖1所示，
∵⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)T，
∴點(diǎn)T在O₁O₂上，
過O₁、O₂分別作O₁C⊥AT、O₂D⊥BT，垂足為C、D，
∴∠O₁CT=∠O₂DT=90°，又∠O₁TC=∠O₂TD，
∴△O₁CT∽△O₂DT，
∴

CT

DT

=

O1T

O2T

，
∵⊙O₁、⊙O₂是等圓，
∴O₁T=O₂T，
∴

CT

DT

=

O1T

O2T

=1，
∴CT=DT，
在⊙O₁中，∵O₁C⊥AB，
∴AC=CT=

1

2

AT，
同理BD=DT=

1

2

BT，
∴

1

2

AT=

1

2

BT，即AT=BT；

（2）線段AT、BT與R、r之間始終存在的數(shù)量關(guān)系是

AT

BT

=

R

r

，理由為：
證明：（1）連接O₁O₂，如圖2所示，
∵⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)T，
∴點(diǎn)T在O₁O₂上，
過O₁、O₂分別作O₁C⊥AT、O₂D⊥BT，垂足為C、D，
∴∠O₁CT=∠O₂DT=90°，又∠O₁TC=∠O₂TD，
∴△O₁CT∽△O₂DT，
∴

CT

DT

=

O1T

O2T

，
∵O₁T=R，O₂T=r，
∴

CT

DT

=

O1T

O2T

=

R

r

，
在⊙O₁中，∵O₁C⊥AB，
∴AC=CT=

1

2

AT，
同理BD=DT=

1

2

BT，
∴

AT

BT

=

1 2 AT

1 2 BT

=

CT

DT

=

R

r

．

點(diǎn)評：此題屬于圓的綜合性題，涉及的知識有：兩圓相切的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及垂徑定理，利用了等量代換的思想，在探討此類題型時注意各問之間的聯(lián)系與區(qū)別．