【題目】如圖,矩形ABCD中,OAC的中點,過點O的直線分別與AB,CD交于點E,F,連接BFAC于點M,連接DE,BO.若∠COB60°FOFC,則下列結論:①FBOCOMCM;②△EOB≌△CMB③四邊形EBFD是菱形;④MBOE32.其中正確結論的個數(shù)是(

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】連接BD,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴AC=BD,AC、BD互相平分,

∵OAC中點,

∴BD也過O點,

∴OB=OC,

∵∠COB=60°,OB=OC,

∴△OBC是等邊三角形,

∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,

在△OBF與△CBF中, ,

∴△OBF≌△CBF(SSS),

∴△OBF與△CBF關于直線BF對稱,

∴FB⊥OC,OM=CM;

∴①正確,

∵∠OBC=60°,

∴∠ABO=30°,

∵△OBF≌△CBF,

∴∠OBM=∠CBM=30°,

∴∠ABO=∠OBF,

∵AB∥CD,

∴∠OCF=∠OAE,

∵OA=OC,

易證△AOE≌△COF,

∴OE=OF,

∴OB⊥EF,

∴四邊形EBFD是菱形,

∴③正確,

∵△EOB≌△FOB≌△FCB,

∴△EOB≌△CMB錯誤.

∴②錯誤,

∵∠OMB=∠BOF=90°,∠OBF=30°,

MB=,OF=,

∵OE=OF,

∴MB:OE=3:2,

∴④正確;

故選C.

練習冊系列答案
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