Question

【題目】綜合與實(shí)踐﹣﹣旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)

問題背景：在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以兩個(gè)矩形為對(duì)象，研究相似矩形旋轉(zhuǎn)中的問題：已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，它們各自對(duì)角線的交點(diǎn)重合于點(diǎn)O，連接AA′，CC′．請(qǐng)你幫他們解決下列問題：

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若A′B′∥AB，則AA′與CC′的數(shù)量關(guān)系是______；

操作探究：（2）將圖1中的矩形ABCD保持不動(dòng)，矩形A′B′C′D′繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α≤90°），如圖2，在矩形A′B′C′D′旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

操作計(jì)算：（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)矩形A′B′C′D′繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至AA′⊥A′D′時(shí)，若AB=6，BC=8，A′B′=3，求AA′的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】AA′=CC′

【解析】

（1）連接AC、A′C′，根據(jù)題意得到點(diǎn)A、A′、C′、C在同一條直線上，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OC，OA′=OC′，得到答案；

（2）連接AC、A′C′，證明△A′OA≌△C′OC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

（3）連接AC，過C作CE⊥AB′，交AB′的延長(zhǎng)線于E，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出B′C′，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

（1）AA′=CC′，

理由如下：連接AC、A′C′，

∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，∠CAB=∠C′A′B′，

∵A′B′∥AB，

∴點(diǎn)A、A′、C′、C在同一條直線上，

由矩形的性質(zhì)可知，OA=OC，OA′=OC′，

∴AA′=CC′，

故答案為：AA′=CC′；

（2）（1）中的結(jié)論還成立，AA′=CC′，

理由如下：連接AC、A′C′，則AC、A′C′都經(jīng)過點(diǎn)O，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠A′OA=∠C′OC，

∵四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′都是矩形，

∴OA=OC，OA′=OC′，

在△A′OA和△C′OC中，

，

∴△A′OA≌△C′OC，

∴AA′=CC′；

（3）連接AC，過C作CE⊥AB′，交AB′的延長(zhǎng)線于E，

∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，

∴，即，

解得，B′C′=4，

∵∠EB′C=∠B′C′C=∠E=90°，

∴四邊形B′ECC′為矩形，

∴EC=B′C′=4，

在Rt△ABC中，AC==10，

在Rt△AEC中，AE==2，

∴AA′+B′E=2﹣3，又AA′=CC′=B′E，

∴AA′=．