Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=45°，AB=4，點E是AB邊上的動點，過點B作直線CE的垂線，垂足為點F．

（1）當點F落在AB上時，求∠BCF的度數；

（2）若∠EBF=15°，求CF的長；

（3）當點E從點A運動到點B時，求點F運動的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）∠BCF=45°（2）2或2（3）

【解析】分析：（1）根據等腰直角三角形的性質即可解決問題；

（2）分以下兩種情況：①當點F在菱形內部時，②當點F在菱形外部時；

（3）首先確定點F的運動軌跡，利用弧長公式計算即可；

詳解：（1）當點F落在AB上時，點E，F重合，即CF⊥AB．

∵∠ABC=45°，∴∠BCF=45°．

（2）分以下兩種情況：

①當點F在菱形內部時，∠FBC=45°﹣15°=30°．在Rt△BFC中，BC=4，∠FBC=30°，sin30°==，∴CF=2；

②當點F在菱形外部時，∠FBC=15°+45°=60°．在Rt△BFC中，BC=4，sin60°==，∴CF=2．

故CF的長為2或2．

（3）如圖，設BC的中點為點O，以點O為圓心，OB長為半徑畫半圓O，連

接 AC，BD交于點F′，易得點F′在半圓O上，連接OF′．

∵BF⊥CE，∴∠BFC=90°，∴點F在半圓O中的一段弧上運動，當點E從點A運動到點B時，點F的運動路徑的長為的長．

∵∠ABC=45°，∴∠BCF′=67.5°，∴∠BOF′=135°，∴的長為=．