Question

【題目】如圖，函數(shù)y=－x2＋x＋c(－2020≤x≤1)的圖象記為L1，最大值為M1；函數(shù)y=－x2＋2cx＋1(1≤x≤2020)的圖象記為L2，最大值為M2．L1的右端點(diǎn)為A，L2的左端點(diǎn)為B，L1，L2合起來(lái)的圖形記為L．

（1）當(dāng)c=1時(shí)，求M1，M2的值；

（2）若把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，當(dāng)點(diǎn)A，B重合時(shí)，求L上“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；

（3）若M1，M2的差為，直接寫出c的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)c=1時(shí)，M1=，M2=2；（2）3030；（3）c=－或2．

【解析】

(1)當(dāng)c=1時(shí)，把函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式即可求得，的值；
(2)由已知可得點(diǎn)A，B重合時(shí)，，，L1上有1011個(gè)“美點(diǎn)”，L2上有2020個(gè)“美點(diǎn)”．則L上“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是1011+2020-1=3030；
(3)當(dāng)時(shí)，，由于L2的對(duì)稱軸為，分兩種情況求解：當(dāng)c≥1時(shí)，=c2+1；當(dāng)c＜1時(shí)，=2c；再由已知列出等式即可求c的值．

(1)當(dāng)c=1時(shí)，

函數(shù)y=-x2+x+c=-x2+x+1=-(x-)2+，

又-2020≤x≤1，

∴M1=，

y=-x2+2cx+1=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，

又1≤x≤2020，

∴M2=2．

(2)當(dāng)x=1時(shí)，y=-x2+x+c=c-；y=-x2+2cx+1=2c．

若點(diǎn)A，B重合，則c-=2c，c=-，

∴L1∶y=-x2+x- (-2020≤x≤1)；

L2∶y=-x2-x+1(1≤x≤2020)．

在L1上，x為奇數(shù)的點(diǎn)是“美點(diǎn)”，則L1上有1011個(gè)“美點(diǎn)”；

在L2上，x為整數(shù)的點(diǎn)是“美點(diǎn)”，則L2上有2020個(gè)“美點(diǎn)”．

又點(diǎn)A，B重合，

則L上“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是1011+2020-1=3030；

(3)y=-x2+x+c(-2020≤x≤1)上時(shí)，當(dāng)時(shí)，，

y=-x2+2cx+1(1≤x≤2020)，對(duì)稱軸為，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴(舍去)或；
當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴(舍去)或；
綜上，或．