Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．

（1）如圖1，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說(shuō)明理由．

（2）如圖2，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B，C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)：

①求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．

②在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．若存在，試求出所有滿(mǎn)足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切，

        ∴ PA⊥OA，PK⊥OK．

        ∴∠PAO=∠OKP=90°．

       又∵∠AOK=90°，

        ∴  ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．

        ∴四邊形OKPA是矩形．

        又∵OA=OK，

        ∴四邊形OKPA是正方形．

（2）①連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為．

過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G．

∵四邊形ABCP為菱形，

∴BC=PA=PB=PC．

∴△PBC為等邊三角形．

在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，

PG=．

sin∠PBG=，即．

解之得：x=±2（負(fù)值舍去）．

∴ PG=，PA=BC=2．

易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，

∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．

∴ A（0，），B（1，0）  C（3，0）．

設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c．

據(jù)題意得：

解之得：a=， b=， c=．

∴二次函數(shù)關(guān)系式為：．

②解法一：設(shè)直線(xiàn)BP的解析式為：y=ux+v，據(jù)題意得：

        

解之得：u=， v=．

∴直線(xiàn)BP的解析式為：．

過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AM∥PB，則可得直線(xiàn)AM的解析式為：．

解方程組：

得： ； ．

過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)CM∥PB，則可設(shè)直線(xiàn)CM的解析式為：．

  ∴0=．   

  ∴．

∴直線(xiàn)CM的解析式為：．

解方程組：

得： ； ．

綜上可知，滿(mǎn)足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè)，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．

解法二：∵，

∴A（0，），C（3，0）顯然滿(mǎn)足條件．

延長(zhǎng)AP交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，由拋物線(xiàn)與圓的軸對(duì)稱(chēng)性可知，PM=PA．

又∵AM∥BC，

∴．

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．

又點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為AM=PA+PM=2+2=4．

∴點(diǎn)M（4，）符合要求．

點(diǎn)（7，）的求法同解法一．

綜上可知，滿(mǎn)足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè)，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．

解法三：延長(zhǎng)AP交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，由拋物線(xiàn)與圓的軸對(duì)稱(chēng)性可知，PM=PA．

又∵AM∥BC，

∴．

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．

即．

解得：（舍），．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，）．

點(diǎn)（7，）的求法同解法一．

綜上可知，滿(mǎn)足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè)，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．