首先,我們看兩個問題的解答:
問題1:已知x>0,求x+
3
x
的最小值.
問題2:已知t>2,求
t2-5t+9
t-2
的最小值.
問題1解答:對于x>0,我們有:x+
3
x
=(
x
-
3
x
)2+2
3
2
3
.當(dāng)
x
=
3
x
,即x=
3
時,上述不等式取等號,所以x+
3
x
的最小值2
3

問題2解答:令x=t-2,則t=x+2,于是
t2-5t+9
t-2
=
(x+2)2-5(x+2)+9
x
=
x2-x+3
x
=x+
3
x
-1

由問題1的解答知,x+
3
x
的最小值2
3
,所以
t2-5t+9
t-2
的最小值是2
3
-1

弄清上述問題及解答方法之后,解答下述問題:
在直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k>0,b>0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),且使得△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3.
(1)用b表示k;
(2)求△AOB面積的最小值.
分析:(1)用k和b表示出三角形的直角邊的長,從而表示出面積,和△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3列成方程,用b表示k.
(2)設(shè)x=b-2,則b=x+2,根據(jù)題干中第二問所給的解答過程得到提示,配方后求得x成立時的最小值.
解答:解:(1)當(dāng)x=0時,y=b;當(dāng)y=0時,x=-
b
k

所以|OA|=
b
k
,|OB|=b.
∴S△OAB=
1
2
|OA|•|OB|=
b2
2k

b2
2k
=
b
k
+b+3,
b2-2b
2k
=b+3,k=
b2-2b
2b+6


(2)S△OAB=
b2
2k
=
b2(2b+6)
2(b2-2b)
=
b2+3b
b-2

設(shè)x=b-2,則b=x+2.
S△OAB=
(x+2)2+3(x+2)
x

=
x2+7x+10
x

=x+
10
x
+7
=(
x
-
10
x
)2
+7+2
10
≥7+2
10

上述不等式等號在x=
10
時成立.
故△OAB面積最小值是7+2
10
點(diǎn)評:本題考查一次函數(shù)的綜合運(yùn)用,以及活學(xué)活用的能力,和配方法求最值的情況.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

首先,我們看兩個問題的解答:
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問題2:已知t>2,求數(shù)學(xué)公式的最小值.
問題1解答:對于x>0,我們有:數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式.當(dāng)數(shù)學(xué)公式,即數(shù)學(xué)公式時,上述不等式取等號,所以數(shù)學(xué)公式的最小值數(shù)學(xué)公式
問題2解答:令x=t-2,則t=x+2,于是數(shù)學(xué)公式
由問題1的解答知,數(shù)學(xué)公式的最小值數(shù)學(xué)公式,所以數(shù)學(xué)公式的最小值是數(shù)學(xué)公式
弄清上述問題及解答方法之后,解答下述問題:
在直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k>0,b>0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),且使得△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3.
(1)用b表示k;
(2)求△AOB面積的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年湖北省黃岡中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

首先,我們看兩個問題的解答:
問題1:已知x>0,求的最小值.
問題2:已知t>2,求的最小值.
問題1解答:對于x>0,我們有:.當(dāng),即時,上述不等式取等號,所以的最小值
問題2解答:令x=t-2,則t=x+2,于是
由問題1的解答知,的最小值,所以的最小值是
弄清上述問題及解答方法之后,解答下述問題:
在直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k>0,b>0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),且使得△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3.
(1)用b表示k;
(2)求△AOB面積的最小值.

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