Question

（2012•十堰）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F，則EF=

5

．

Answer 1

分析：過D作DK平行EF交CF于K，得出平行四邊形DEFK，推出EF=DK，證△DCK∽△CBA，求出CK，根據(jù)勾股定理求出DK即可．

解答：解：
過D作DK平行EF交CF于K，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠DCB=90°，AD=BC=4，AB=CD=2，
∵AD∥BC，EF∥DK，
∴DEFK為平行四邊形，
∴EF=DK，
∵EF⊥AC，
∴DK⊥AC，
∴∠DPC=90°，
∵∠DCB=90°，
∴∠CDK+∠DCP=90°，∠DCP+∠ACB=90°，
∴∠CDK=∠ACB，
∵∠DCK=∠ABC=90°，
∴△CDK∽△BCA，
∴

CD

CK

=

BC

AB

，
即

2

CK

=

4

2

，
CK=1，
根據(jù)勾股定理得：EF=DK=

5

，
故答案為：

5

．

點評：本題考查了矩形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，線段的垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出EO長，用的數(shù)學(xué)思想是方程思想．