Question

（2009•恩施州）恩施州自然風(fēng)光無(wú)限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世．著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50km，A、B到直線x的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P，向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客．小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P），P到A、B的距離之和S₁=PA+PB，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線X的對(duì)稱點(diǎn)是A'，連接BA'交直線X于點(diǎn)P），P到A、B的距離之和S₂=PA+PB．
（1）求S₁、S₂，并比較它們的大��；
（2）請(qǐng)你說(shuō)明S₂=PA+PB的值為最��；
（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，B到直線Y的距離為30km，請(qǐng)你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最�。�并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)勾股定理分別求得S₁、S₂的值，比較即可；
（2）在公路上任找一點(diǎn)M，連接MA，MB，MA'，由軸對(duì)稱知MA=MA，∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，∴S₂=BA'為最小；
（3）過(guò)A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，過(guò)B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A'B'，交X軸于點(diǎn)P，交Y軸于點(diǎn)Q，求出A'B'的值即可．
解答：解：（1）圖（1）中過(guò)B作BC⊥X于C，垂足為C；AD⊥BC于D，垂足為D，
則BC=40，
又∵AP=10，
∴BD=BC-CD=40-10=30．
在△ABD中，AD==40，
在Rt△PBC中，
∴BP=，
S₁=．
圖（2）中，過(guò)B作BC⊥AA′垂足為C，則A′C=50，
又∵BC=40，
∴BA'=，
由軸對(duì)稱知：PA=PA'，
∴S₂=BA'=，
∴S₁＞S₂．

（2）如圖（2），在公路上任找一點(diǎn)M，連接MA，MB，MA'，由軸對(duì)稱知MA=MA'，
∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，
∴S₂=BA'為最�。�

（3）過(guò)A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，過(guò)B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，
連接A'B'，交X軸于點(diǎn)P，交Y軸于點(diǎn)Q，則P，Q即為所求．
過(guò)A'、B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點(diǎn)G，
B′G=40+10=50，A′G=30+30+40=100，
A'B'=，
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50，
∴所求四邊形的周長(zhǎng)為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了線路最短的問(wèn)題，確定動(dòng)點(diǎn)為何位置是關(guān)鍵，綜合運(yùn)用勾股定理的知識(shí)．