Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，A, B是直線l上的兩點，點B關于AD的對稱點為M，連接交AD于F點.

（1）若，如圖，

①依題意補全圖形；

②判斷MF與FC的數量關系是 ；

（2）如圖，當時，，CD的延長線相交于點E，取E的中點H，連結HF. 用等式表示線段CE與AF的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①見解析② FM=FC（2）CE=AF

【解析】

（1）①按要求畫圖即可；②根據“AAS”證明△AFM≌△DFC，即可證明結論成立；

（2）過點M作∥CD交AD于點G．先證明MG=AM，從而MG=CD，根據“AAS”可證△MFG≌ △CFD，進而GF=FD，HF是△CME的中位線，可得.再證明∠FHA=90°，根據勾股定理得出，進而可求出線段CE與AF的數量關系.

（1）①如圖，

② FM=FC．

∵點B關于AD的對稱點為M，

∴AB=AM.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD,

∴AM=CD.

∵，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴∠MAF=∠CDF,

又∵∠AFM=∠CFD,

∴△AFM≌△DFC，

∴FM=FC;

（2）CE與AF的數量關系是CE=AF

證明：過點M作∥CD交AD于點G．

∵B，M關于AD對稱，

∴∠1=∠2，AB=AM．

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AB∥CD.

∵MG∥CD，

∴MG∥AB．

∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3．

∴AM=MG．

∵AB=AM，AB=CD，

∴MG=CD．

∵MG∥CD，

∴ ∠4=∠FDC．

∵∠MFG=∠CFD，

∴ △MFG≌ △CFD.

∴ FM=FC．

∴F為CM的中點，

∵H為ME的中點,

∴ FH∥CE，

∵∠ABC=135°， 平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠2=180°-∠ABC=45°．

∴由對稱性，∠1=∠2=45°.

∵FH∥CD，AB∥CD，

∴FH∥AB．

∴∠HFA=∠2=45°.

∴∠FHA=90°，HA=HF．

∴，

∴，

又，

∴，

，

∴．