【題目】感知:如圖,在中,,點(diǎn)分別在邊上,連接點(diǎn)分別為的中點(diǎn),則與的數(shù)量關(guān)系是: .
探究:把繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn),如圖,連接
證明:
的度數(shù)為 _
應(yīng)用:把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若面積的最大值為___________.
【答案】感知:;探究:詳見解析;;
【解析】
感知:由題意可得BD=CE,由三角形中位線可得BD=2PM,CE=2PN,可得PM=PN;
探究:(1)由“SAS”可證,由三角形中位線定理可得BD=2PM,CE=2PN,可得PM=PN;
(2)由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠ACE,由平行線的性質(zhì)可得∠BDE=∠MPE,∠BNP=∠BCE,由三角形外角性質(zhì)可求∠MPN=60°,可證△PMN是等邊三角形,即可求解;
應(yīng)用:先判斷出BD最大時,△PMN的面積最大,而BD最大值是AB+AD=12,即可求解.
解:感知:∵AB=AC,AD=AE
∴BD=CE
∴ BD=2PM,CE=2PN
∴PM=PN
故答案為PM=PN.
探究:
證明:
又.
(SAS).
.
點(diǎn)分別是的中點(diǎn),
點(diǎn)分別是的中點(diǎn)
.
(2)∵
∴∠ABD=∠ACE
∵PM=PN
∴△PMN是等腰三角形
∵PM∥BD
∴∠DBE=∠MPE
∵PN∥BD
∴∠BNP=∠BCE
∵∠DBN=∠DBP+∠EBC=∠MPE+∠EBC
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠MPE+∠EBC+∠PNB=∠DBN+∠BCE=∠ABC+∠ABD+∠BCE=∠ABC+∠ACE+∠BCE=∠ABC+∠ACB
∴∠BAC=120°
∴∠ACB+∠ABC=60°
∴∠MPN=60°
∴△PMN是等邊三角形
∴∠PMN=60°
故答案為60°.
(3)由(2)知△PMN是等邊三角形,PM=PN=BD
∴PM最大時,△PMN面積最大,PM最小時,△PMN面積最小
∴點(diǎn)D在BA的延長線上,△PMN的面積最大
∴BD=AB+AD=12
∴PM=6
∴
故答案為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B.點(diǎn)C的坐標(biāo)是(﹣1,0),拋物線y=ax2+bx﹣2經(jīng)過A、C兩點(diǎn)且交y軸于點(diǎn)D.點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)Q,連結(jié)DQ,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m≠0).
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo).
(2)求拋物線的表達(dá)式.
(3)當(dāng)以B、D、Q,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,正,B(3,0),C(7,0),過點(diǎn)作直線,,的橫坐標(biāo)( )
A.4B.C.D.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】奇異果是新西蘭的特產(chǎn),其實(shí)它的祖籍在中國,又名“獼猴桃”.2018年1月份至6月份我市某大型超市新西蘭品種的奇異果銷售價格y(元/盒)與月份x(1≤x≤6,且x為整數(shù))之間的函數(shù)關(guān)系如下表:
7月份至12月份奇異果的銷售價格y(元/盒)與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式:y=2x+20(7≤x≤12且x為整數(shù)).該超市去年奇異果銷售數(shù)量z(盒)與月份x(1≤x≤12,且x為整數(shù))之間存在如圖所示的變化趨勢.若去年該超市奇異果的進(jìn)價為每盒20元,銷售奇異果需要一名超市員工,該員工每月固定人工費(fèi)用為1500元.
(1)請觀察圖表中的數(shù)據(jù)信息直接寫出2018年1月份至6月份銷售價格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式__ ,根據(jù)如圖所示的變化趨勢,直接寫出去年每月銷售數(shù)量z與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式__ .
(2)求出去年每月該超市的利潤w(元)與月份x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式.(利潤=收入成本費(fèi)用)
(3)從今年1月份開始,超市決定每賣出一盒奇異果,公司向希望工程捐款2元,奇異果的進(jìn)價為每盒26元,雖然今年1月份奇異果的銷售價格比去年12月份增加4元,但1月份銷售數(shù)量仍比去年12月份增加了0.4a%;2月份銷售價格在1月份的基礎(chǔ)上增加了0.5a%,由于其它水果陸續(xù)上市,2月份的銷售量與1月份持平,這樣2月份的利潤達(dá)到了15780元,請參考以下數(shù)據(jù),求出整數(shù)a的值.(參考數(shù)據(jù):=2025,=2116,=2209)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分8分)某商家預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場,就用13200元購進(jìn)了一批這種襯衫,面市后果然供不應(yīng)求.商家又用28800元購進(jìn)了第二批這種襯衫,所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍,但單價貴了10元.
(1)該商家購進(jìn)的第一批襯衫是多少件?
(2)若兩批襯衫按相同的標(biāo)價銷售,最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出,如果兩批襯衫全部售完后利潤率不低于25%(不考慮其它因素),那么每件襯衫的標(biāo)價至少是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在筆直的道路AB上相向而行,甲騎自行車從A地到B地,乙駕車從B地到A地,假設(shè)他們分別以不同的速度勻速行駛,甲先出發(fā)6分鐘后,乙才出發(fā),乙的速度為千米/分,在整個過程中,甲、乙兩人之間的距離y(千米)與甲出發(fā)的時間x(分)之間的部分函數(shù)圖象如圖.
(1)A、B兩地相距____千米,甲的速度為____千米/分;
(2)求線段EF所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)A時,甲還需多少分鐘到達(dá)終點(diǎn)B?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn),以為圓心作與軸切于原點(diǎn),與軸的另一個交點(diǎn)為,過作的切線.
(1)以直線為對稱軸的拋物線過點(diǎn)及點(diǎn),求次拋物線的解析式;
(2)第(1)問中的拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為,過作的切線,為切點(diǎn),求此切線長;
(3)點(diǎn)是切線DE上的一個動點(diǎn),當(dāng)與相似時,求出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場同時購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件,其進(jìn)價和售價如下表:
商品名稱 | 甲 | 乙 |
進(jìn)價(元/件) | 40 | 90 |
售價(元/件) | 60 | 120 |
設(shè)其中甲種商品購進(jìn)x件,商場售完這100件商品的總利潤為y元.
(Ⅰ)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)該商場計(jì)劃最多投入8000元用于購買這兩種商品,
①至少要購進(jìn)多少件甲商品?
②若銷售完這些商品,則商場可獲得的最大利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦BC=2cm,F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn),∠ABC=60°.若動點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著ABA方向運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0≤t<3),連接EF,當(dāng)t為_____s時,△BEF是直角三角形.
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