Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在邊AB上，連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，連接AE．

（1）求證：AB⊥AE；

（2）若，求證：四邊形ADCE為正方形．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，

∴∠DCE=90°，CD=CE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中

，

∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠CAE=45°，

∴∠BAE=45°+45°=90°，

∴AB⊥AE；

（2）∵，

而BC=AC，

∴，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴∠CDA=∠BCA=90°，

而∠DAE=90°，∠DCE=90°，

∴四邊形ADCE為矩形，

∵CD=CE，

∴四邊形ADCE為正方形

【解析】試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據(jù)“SAS”可判斷△BCD≌△ACE，則∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到結(jié)論；

（2）由于BC=AC，則AC2=ADAB，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，則∠CDA=∠BCA=90°，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形．

解答：證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，

∵線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE，

∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACE，CD=CE，∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠CAE=45°，∴∠BAE=45°+45°=90°，∴AB⊥AE；

（2）∵BC2=ADAB，而BC=AC，∴AC2=ADAB，

∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴∠CDA=∠BCA=90°，

而∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四邊形ADCE為矩形，

∵CD=CE，∴四邊形ADCE為正方形．