【題目】已知:拋物線y=x2+(2m1)x+m21經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減。

(1)求拋物線的解析式,并寫出y<0時(shí),對(duì)應(yīng)x的取值范圍;

(2)設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D,再作ABx軸于點(diǎn)B,DCx軸于點(diǎn)C.

當(dāng)BC=1時(shí),直接寫出矩形ABCD的周長(zhǎng);

設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),將矩形ABCD的周長(zhǎng)L表示為a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍,判斷周長(zhǎng)是否存在最大值?如果存在,求出這個(gè)最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y<0時(shí),0<x<3;(2)矩形的周長(zhǎng)為6;當(dāng)a=時(shí),L最大=,A點(diǎn)坐標(biāo)為(,).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)的增減性,可得符合條件的函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系,可得答案;

(2)根據(jù)BC關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可得A點(diǎn)的縱坐標(biāo),根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式,可得答案;

分類討論A在對(duì)稱軸左側(cè),A在對(duì)稱軸右側(cè),根據(jù)對(duì)稱,可得BC的長(zhǎng),AB的長(zhǎng),根據(jù)周長(zhǎng)公式,可得函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)的增減性,可得答案.

試題解析:(1)拋物線y=x2+(2m1)x+m21經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),m21=0,m=±1,

y=x2+x或y=x23x,當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小,y=x23x,由函數(shù)與不等式的關(guān)系,得y<0時(shí),0<x<3;

(2)如圖1

,

當(dāng)BC=1時(shí),由拋物線的對(duì)稱性,得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2,

矩形的周長(zhǎng)為6;

②∵A的坐標(biāo)為(a,b),

當(dāng)點(diǎn)A在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),如圖2

,

矩形ABCD的一邊BC=32a,另一邊AB=3aa2

周長(zhǎng)L=2a2+2a+6.其中0<a<,當(dāng)a=時(shí),L最大=,A點(diǎn)坐標(biāo)為(,),

當(dāng)點(diǎn)A在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)如圖3

,

矩形的一邊BC=3(62a)=2a3,另一邊AB=3aa2

周長(zhǎng)L=2a2+10a6,其中<a<3,當(dāng)a=時(shí),L最大=,A點(diǎn)坐標(biāo)為(,);

綜上所述:當(dāng)0<a<時(shí),L=2(a2+,

當(dāng)a=時(shí),L最大=,A點(diǎn)坐標(biāo)為(,),

當(dāng)<a<3時(shí),L=2(a2+

當(dāng)a=時(shí),L最大=,A點(diǎn)坐標(biāo)為(,).

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