【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=,E是AD邊上的一點(點E與點A和點D不重合),BE的垂直平分線交AB于點M,交DC于點N.
(1)證明:MN = BE.
(2)設AE=,四邊形ADNM的面積為S,寫出S關于的函數(shù)關系式.
(3)當AE為何值時,四邊形ADNM的面積最大?最大值是多少?
【答案】(1)證明見解析;(2)S=-x2+x+2;(3)當AE =1時,四邊形ADNM的面積S的值最大,最大值是.
【解析】
(1)作輔助線ME、MN,由SAS證明△EBA≌△MNF,從而得證;
(2)連接ME,構造出直角三角形△AME,在Rt△AME中,AE=x,ME=MB=2-AM,可得(2-AM)2=x2+AM2,解得AM,由(1)△EBA≌△MNF,可得EA=MF,由此DN=AF=AM+MF=AM+AE,即可求得四邊形ADNM的面積為-x2+x+2;
(3)根據(jù)(2)的答案,利用二次函數(shù)的最值問題即可求出.
(1)設MN交BE于P,根據(jù)題意,得MN⊥BE,
過N作AB的垂線交AB于F,
在Rt△AEB和Rt△MNF中,
∠MBP+∠BMN=90°,∠FNM+∠BMN=90°,
∴∠MBP=∠MNF,
又AB=FN,
∴Rt△EBA≌Rt△MNF,故MN=BE;
(2)連接ME,
根據(jù)題意,得MB=ME,
在Rt△AME中,AE=x,ME=MB=2-AM,
∴(2-AM)2=x2+AM2,
解得AM=1-x2,
由(1)△EBA≌△MNF,
∴EA=MF,
∴DN=AF=AM+MF=AM+AE,
∴四邊形ADNM的面積S=×AD=×2=2AM+AE=2(1-x2)+x=-x2+x+2,
即所求關系式為S=-x2+x+2;
(3)s=-x2+x+2=-(x2-2x+1)+=-(x-1)2+,
故當AE=x=1時,四邊形ADNM的面積S的值最大,最大值是.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】今年豬肉價格受非洲豬瘟疫情影響,有較大幅度的上升,為了解某地區(qū)養(yǎng)殖戶受非洲豬瘟疫情感染受災情況,現(xiàn)從該地區(qū)建檔的養(yǎng)殖戶中隨機抽取了部分養(yǎng)殖戶進行了調查(把調查結果分為四個等級:A級:非常嚴重;B級:嚴重;C級:一般;D級:沒有感染),并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解決下列問題:
(1)本次抽樣調查的養(yǎng)殖戶的總戶數(shù)是 ;把圖2條形統(tǒng)計圖補充完整.
(2)若該地區(qū)建檔的養(yǎng)殖戶有1500戶,求非常嚴重與嚴重的養(yǎng)殖戶一共有多少戶?
(3)某調研單位想從5戶建檔養(yǎng)殖戶(分別記為a,b,c,d,e)中隨機選取兩戶,進一步跟蹤監(jiān)測病毒傳播情況,請用列表或畫樹狀圖的方法求出選中養(yǎng)殖戶e的概率.
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【題目】如圖,已知A(3,1),B(1,0),PQ是直線y=x上的一條動線段且PQ=(Q在P的下方),當AP+PQ+QB取最小值時,點Q坐標為______.
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【題目】閱讀理解:給定一個矩形,如果存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的2倍,則這個矩形是給定矩形的“加倍”矩形.如圖,矩形是矩形的“加倍”矩形.
解決問題:
(1)當矩形的長和寬分別為3,2時,它是否存在“加倍”矩形?若存在,求出“加倍”矩形的長與寬,若不存在,請說明理由.
(2)邊長為的正方形存在“加倍”正方形嗎?請做出判斷,并說明理由.
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【題目】如圖,以 為原點的直角坐標系中, 點的坐標為(0, 1),直線 交軸于點. 為線段上一動點,作直線,交直線于點. 過點作直線平行于軸,交軸于點 ,交直線于點.
(1)當點在第一象限時,求證:;
(2)當點在第一象限時,設長為,四邊形的面積為,請求出與間的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)當點在線段上移動時,點也隨之在直線上移動,是否可能成為等腰三角形?如果可能,求出所有能使成為等腰直角三角形的點的坐標;如果不可能,請說明理由.
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【題目】某學習小組做“用頻率估計概率的試驗時,統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率,繪制了如圖所示折線統(tǒng)計圖,則符合這一結果的試驗最有可能的是( )
A. 擲一枚正六面體的骰子,出現(xiàn)1點朝上
B. 任意寫一個整數(shù),它能被2整除
C. 不透明袋中裝有大小和質地都相同的1個紅球和2個黃球,從中隨機取一個,取到紅球
D. 先后兩次擲一枚質地均勻的硬幣,兩次都出現(xiàn)反面
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點、,對連續(xù)作旋轉變換依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…,則第個三角形的直角頂點的坐標是______.
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【題目】如圖1,⊙O過正方形ABCD的頂點A、D且與邊BC相切于點E,分別交AB、DC于點M、N.動點P在⊙O或正方形ABCD的邊上以每秒一個單位的速度做連續(xù)勻速運動.設運動的時間為x,圓心O與P點的距離為y,圖2記錄了一段時間里y與x的函數(shù)關系,在這段時間里P點的運動路徑為( )
A. 從D點出發(fā),沿弧DA→弧AM→線段BM→線段BC
B. 從B點出發(fā),沿線段BC→線段CN→弧ND→弧DA
C. 從A點出發(fā),沿弧AM→線段BM→線段BC→線段CN
D. 從C點出發(fā),沿線段CN→弧ND→弧DA→線段AB
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