Question

【題目】如圖，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），與雙曲線y= （x＞0）交于點(diǎn)B（2，1）．過(guò)點(diǎn)P（p，p﹣1）（p＞1）作x軸的平行線分別交雙曲線y= （x＞0）和y=﹣ （x＜0）于點(diǎn)M、N．
（1）求m的值和直線l的解析式；
（2）若點(diǎn)P在直線y=2上，求證：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在實(shí)數(shù)p，使得S△AMN=4S△AMP？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的p的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵B（2，1）在雙曲線y= （x＞0）上，

∴m=2，

設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得 ，

∴直線l的解析式為y=x﹣1

（2）證明：∵點(diǎn)P（p，p﹣1）（p＞1），點(diǎn)P在直線y=2上，

∴p﹣1=2，

解得p=3，

∴P（3，2），

∴PM=2，PN=4，PA=2 ，PB= ，

∵∠BPM=∠APN，PM：PN=PB：PA=1：2，

∴△PMB∽△PNA

（3）解：存在實(shí)數(shù)p，使得S△AMN=4S△AMP．

∵P（p，p﹣1）（p＞1），

∴點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)都為p﹣1，

將y=p﹣1代入y= 和y=﹣ ，

得x= 和x=﹣ ，

∴M、N的坐標(biāo)分別為（ ，p﹣1），（﹣ ，p﹣1），

①當(dāng)1＜p＜2時(shí)，

MN= ，PM= ﹣p，

∵S△AMN= MN×（p﹣1）=2，S△AMP= MP×（p﹣1）=﹣ p2+ p+1，

S△AMN=4S△AMP，

∴2=4×（﹣ p2+ p+1），

整理，得p2﹣p﹣1=0，

解得：p= ，

∵1＜p＜2，

∴p= ，

②當(dāng)p＞2時(shí)，

MN= ，PM=p﹣ ，

∵S△AMN= MN×（p﹣1）=2，S△AMP= MP×（p﹣1）= p2﹣ p﹣1，

S△AMN=4S△AMP，

∴2=4×（ p2﹣ p﹣1），

整理，得p2﹣p﹣3=0，解得p= ，

∵p大于2，

∴p= ，

∴存在實(shí)數(shù)p= 或 使得S△AMN=4S△AMP．

【解析】（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可得出m的值，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，再把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，解方程組求得k和b即可得出直線l的解析式；（2）根據(jù)點(diǎn)P在直線y=2上，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再證明△PMB∽△PNA即可；（3）先假設(shè)存在，利用S△AMN=4S△AMP ． 求得p的值，看是否符合要求．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．