Question

【題目】點O在△ABC的內部，點D，E，F，G分別是AB，OB，OC，AC的中點．
（1）如圖1，求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）如圖2，射線AO交BC邊于點H，連接DH，GH，若AB=AC，DE⊥EF，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有的等腰三角形（不包含以∠BAC為內角的三角形）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△OBC，△OEF，△HGC，△HGA，△BDH，△DHA．

【解析】

（1）只要證明DG∥EF，DG=EF即可．
（2）首先證明AH垂直平分BC，得到△OBC，△OEF是等腰三角形，再根據直角三角形斜邊中線性質得到△HGC，△HGA，△BDH，△DHA是等腰三角形．

（1）證明：如圖1中，

∵AD=DB，AG=GC，
∴DG∥BC，DG=BC，
∵OE=EB，OF=FC，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴DG∥EF，EF=DG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）如圖2中，

∵BD=DA，BE=EO，
∴DE∥AO，
∵EF∥BC，DE⊥EF，
∴DE⊥BC，
∴AH⊥BC，
∵AB=AC，
∴BH=HC，
∴OB=OC，OE=OF，
∴△OBC，△OEF是等腰三角形，
∵DH是Rt△ABH斜邊中線，
∴DH=BD=AD，
∴△BDH，△DHA是等腰三角形，同理△HGC，△HGA都是等腰三角形．
綜上所述等腰三角形有△OBC，△OEF，△HGC，△HGA，△BDH，△DHA．