【題目】將一矩形紙片OABC放在直角坐標系中,O為原點,C在x軸上,OA=6,OC=10.
(Ⅰ)如圖①,在OA上取一點E,將△EOC沿EC折疊,使點O落在AB邊上的D點,求E點的坐標;
(Ⅱ)如圖②,在OA、OC邊上選取適當?shù)狞cE′、F,將△E′OF沿E′F折疊,使O點落在AB邊上D′點,過D′作D′G∥OA交E′F于T點,交OC于G點,設(shè)T的坐標為(x,y),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若OG=2 ,求△D′TF的面積.(直接寫出結(jié)果即可)

【答案】解:(Ⅰ)∵將△EOC沿EC折疊,使O點落在AB邊上的D點,

∴DC=OC=10.

在Rt△BCD中,∵∠B=90°,BC=OA=6,DC=10,

∴BD= =8.

在Rt△AED中,∵∠DAE=90°,AD=2,DE=OE,AE=6﹣OE,

∴DE2=AD2+AE2,即OE2=22+(6﹣OE)2

解得 OE=

∴E點的坐標為(0, );

(Ⅱ)∵將△E′OF沿E′F折疊,使O點落在AB邊上D′點,

∴∠D′E′F=∠OE′F,D′E′=OE′,

∵D′G∥AO,

∴∠OE′F=∠D′TE′,

∴∠D′E′F=∠D′TE′,

∴D′T=D′E′=OE′,

∴TG=AE′;

∵T(x,y),

∴AD′=x,TG=AE′=y,D′T=D′E′=OE′=6﹣y.

在Rt△AD′E′中,∵∠D′AE′=90°,

∴AD′2+AE′2=D′E′2,即x2+y2=(6﹣y)2

整理,得y=﹣ x2+3;

由(1)可得AD′=OG=2時,x最小,從而x≥2,

當E′F恰好平分∠OAB時,AD′最大即x最大,

此時G點與F點重合,四邊形AOFD′為正方形,即x最大為6,從而x≤6,

故變量x的取值范圍是2≤x≤6.

(Ⅲ)∵T的坐標為(x,y),y=﹣ x2+3,OG=2 ,

∴GT=y=﹣ ×12+3=2,AD'=OG=2 ,

∴DT=6﹣2=4,

作FM⊥AB于M,則FM=BC=6,∠FMD'=90°=∠A,

∴∠1+∠2=90°,

由折疊的性質(zhì)得:∠ED'F=∠AOC=90°,

∴∠1+∠3=90°,

∴∠2=∠3,

∴△D'MF∽△EAD',

= ,即 = =

設(shè)E'O=ED'=x,則AE'=6﹣x,

在Rt△AD'E'中,由勾股定理得:(2 2+(6﹣x)2=x2,

解得:x=4,

∴OF=D'F=4 ,

∴GF=OF﹣OG=2

∴△D′TF的面積= D'TGF= ×4×2 =4


【解析】(1)利用折疊性質(zhì)和勾股定理,構(gòu)建方程,即可求出E坐標;(2)利用折疊的性質(zhì)、勾股定理構(gòu)建方程,變形為函數(shù)解析式形式即可;(3)由折疊可得相似三角形,對應(yīng)邊成比例可求出E'O,進一步求出面積.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用翻折變換(折疊問題)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和角相等;相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

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x

﹣1

0

1

3

y

﹣1

3

5

3

①ac<0;
②當x>1時,y的值隨x值的增大而減;
③x=3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個根;
④當﹣1<x<3時,ax2+(b﹣1)x+c>0.
上述結(jié)論中正確的個數(shù)是( )
A.4
B.3
C.2
D.1

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(Ⅰ)如圖①,若∠P=20°,求∠BCO的度數(shù);
(Ⅱ)如圖②,過A作弦AD⊥OP于E,連接DC,若OE= CD,求∠P的度數(shù).

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⑴圖形中全等的三角形只有兩對;
⑵正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍;
⑶BE+BF= OA;
⑷AE2+CF2=2OPOB.
正確的結(jié)論有( )個.

A.1
B.2
C.3
D.4

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【題目】已如兩個全等的等腰△ABC、△DEF,其中∠ACB=DFE=90°,EAB中點,△DEF可繞頂點E旋轉(zhuǎn),線段DE,EF分別交線段CA,CB(或它們所在的直線)于M、N

1)如圖1,當線段EF經(jīng)過△ABC的頂點時,點N與點C重合,線段DEACM,已知AC=BC=5,則MC=   ;

2)如果2,當線段EF與線段BC邊交于N點,線段DE與線段AC交于M點,連MN,EC,請?zhí)骄?/span>AM,MN,CN之間的等量關(guān)系,并說明理由;

3)如圖3,當線段EFBC延長線交于N點,線段DE與線段AC交于M點,連MN,EC,則(2)中AM,MN,CN之間的等量關(guān)系還成立嗎?請說明理由.

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