【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過點A(-1,0)、B(4,0)與y軸交于點C,tan∠ABC=.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M在第一象限的拋物線上,ME平行y軸交直線BC于點E,連接AC、CE,當(dāng)ME取值最大值時,求△ACE的面積.
(3)在y軸負半軸上取點D(0,-1),連接BD,在拋物線上是否存在點N,使∠BAN=∠ACO-∠OBD?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=-x2+x+2;(2)S△ACE=;(3)存在,N點的坐標為(,)或(,-).
【解析】
(1)根據(jù)tan∠ABC=求出點C的坐標,再根據(jù)A,B,C的坐標求出解析式即可;
(2)先求出直線BC的解析式,設(shè)出M,E的坐標,求出ME的最大值,即可求出△ACE的面積;
(3)作C′(0,-2)與 C關(guān)于x軸對稱,連接BC′,過點D作DE⊥BC′于點E,證明△AOC∽△COB,得到∠BAN=∠ACO-∠OBD=∠DBC′,得出tan∠DBC′=tan∠BAN=,再設(shè)N點坐標,根據(jù)tan∠BAN=,求出n的值,即可求出N點坐標.
(1)∵B(4,0),
∴OB=4,
∵tan∠ABC===,
∴OC=2,
∴C(0,2),
設(shè)y=a(x-1)(x-4),
把C(0,2)代入,得a=-,
∴拋物線的解析式為y=-(x-1)(x-4)=-x2+x+2;
(2)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+2,
把B(4,0)代入,得k=-,
∴直線BC解析式為y=-x+2,
設(shè)M(m,-m2+m+2),
則E(m,-m+2),
∴ME=-m2+2m,
∴當(dāng)m=2時,ME取得最大值2,
∴E(2,1),
∴S△ACE=S△ABC-S△ABE=×5×(2-1)=;
(3)作C′(0,-2)與 C關(guān)于x軸對稱,連接BC′,過點D作DE⊥BC′于點E,
∴∠ABC=∠ABC′,
∵=,∠AOC=∠BOC=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴∠ABC=∠ACO,
∴∠ABC′=∠ACO,
即∠BAN=∠ACO-∠OBD=∠DBC′,
由題意得DC′=1、DB=,BC′=2,
∵S△DBC′=,
∴DE=,
∴BE=,
∴tan∠DBC′=tan∠BAN=,
設(shè)N(n,-n2+n+2),且n>0,
∴tan∠BAN===,
①當(dāng)2n+2=9×(-n2+n+2)時,n1=,n2=-1(舍去);
②當(dāng)2n+2=-9×(-n2+n+2)時,n1=,n2=-1(舍去);
∴N點的坐標為(,)或(,-).
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,cosA=,點D是斜邊AB上的動點且不與A,B重合,連接CD,點B'與點B關(guān)于直線CD對稱,連接B'D,當(dāng)B'D垂直于Rt△ABC的直角邊時,BD的長為______.
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【題目】今年,我國海關(guān)總署嚴厲打擊“洋垃圾”違法行動,堅決把“洋垃圾”拒于國門之外.如圖,某天我國一艘海監(jiān)船巡航到A港口正西方的B處時,發(fā)現(xiàn)在B的北偏東60°方向,相距150海里處的C點有一可疑船只正沿CA方向行駛,C點在A港口的北偏東30°方向上,海監(jiān)船向A港口發(fā)出指令,執(zhí)法船立即從A港口沿AC方向駛出,在D處成功攔截可疑船只,此時D點與B點的距離為75海里.
(1)求B點到直線CA的距離;
(2)執(zhí)法船從A到D航行了多少海里?(結(jié)果保留根號)
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【題目】某超市銷售一種文具,進價為5元/件.售價為6元/件時,當(dāng)天的銷售量為100件.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):售價每上漲0.5元,當(dāng)天的銷售量就減少5件.設(shè)當(dāng)天銷售單價統(tǒng)一為元/件(,且是按0.5元的倍數(shù)上漲),當(dāng)天銷售利潤為元.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(2)要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元,求當(dāng)天銷售單價所在的范圍;
(3)若每件文具的利潤不超過,要想當(dāng)天獲得利潤最大,每件文具售價為多少元?并求出最大利潤.
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【題目】如圖,在平面直接坐標系中,將反比例函數(shù)的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到的曲線l,過點,的直線與曲線l相交于點C、D,則sin∠COD=___ .
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【題目】如圖1,拋物線經(jīng)過、兩點,與x軸交于另一點B.
求拋物線的解析式;
已知點在第一象限的拋物線上,求點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標;
如圖2,若拋物線的對稱軸為拋物線頂點與直線BC相交于點F,M為直線BC上的任意一點,過點M作交拋物線于點N,以E,F,M,N為頂點的四邊形能否為平行四邊形?若能,求點N的坐標;若不能,請說明理由.
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【題目】如圖甲,在平面直角坐標系中,直線分別交x軸、y軸于點A、B,⊙O的半徑為個單位長度,點P為直線y=﹣x+6上的動點,過點P作⊙O的切線PC、PD,切點分別為C、D,且PC⊥PD.
(1)判斷四邊形OCPD的形狀并說明理由.
(2)求點P的坐標.
(3)若直線y=﹣x+6沿x軸向左平移得到一條新的直線y1=﹣x+b,此直線將⊙O的圓周分得兩段弧長之比為1:3,請直接寫出b的值.
(4)若將⊙O沿x軸向右平移(圓心O始終保持在x軸上),試寫出當(dāng)⊙O與直線y=﹣x+6有交點時圓心O的橫坐標m的取值范圍.(直接寫出答案)
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【題目】甲乙兩人從A地出發(fā)去相距1800米的B地,甲出發(fā)1.5分鐘后乙再出發(fā),在中途乙追上甲,追上甲后,乙發(fā)現(xiàn)有東西忘帶了,于是以原來1.2倍的速度返回,甲則繼續(xù)以原速度前行,乙返回A地后取東西花了2分鐘,取完東西后立即以返回時的速度追甲,甲達到B地以后立即返回,并與乙在途中相遇,設(shè)甲乙兩人之間的距離為y(米),甲出發(fā)的時間為x(分鐘),y與x的關(guān)系如圖所示,則當(dāng)甲乙兩人第二次相遇時,兩人距B地的距離為_____米.
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【題目】 “宜居長沙”是我們的共同愿景,空氣質(zhì)量倍受人們的關(guān)注.我市某空氣質(zhì)量檢測站點檢測了該區(qū)域每天的空氣質(zhì)量情況,統(tǒng)計了2013年1月份至4月份若干天的空氣質(zhì)量情況,并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)統(tǒng)計圖共統(tǒng)計了______天空氣質(zhì)量情況.
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整,并計算空氣質(zhì)量為“優(yōu)”所在扇形圓心角度數(shù).
(3)從小源所在班級的40名同學(xué)中,隨機選取一名同學(xué)去該空氣質(zhì)量監(jiān)測點參觀,則恰好選到小源的概率是多少?
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