Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，現(xiàn)將紙片折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)P，折痕為EF(點(diǎn)E、F是折痕與矩形的邊的交點(diǎn))，再將紙片還原．

（1）若點(diǎn)P落在矩形ABCD的邊AB上(如圖1)．

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF=　　　　°，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF=　　　　°．

②當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，點(diǎn)F在DC上時(shí)(如圖2)，若AP=，求四邊形EPFD的周長(zhǎng)．

（2）若點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在AD上，線段BA與線段FP交于點(diǎn)M(如圖3)，當(dāng)AM=DE時(shí)，請(qǐng)求出線段AE的長(zhǎng)度．

（3）若點(diǎn)P落在矩形的內(nèi)部(如圖4)，且點(diǎn)E、F分別在AD、DC邊上，請(qǐng)直接寫出AP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①90，45；②；（2） 0.6；（3）1．

【解析】

（1）①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，是的中垂線，可得結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖2，則平分；

②如圖3中，證明得，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等得：四邊形是平行四邊形，加上對(duì)角線互相垂直可得為菱形，當(dāng)時(shí)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)勾股定理列方程得：，求出的值即可；

（2）連接，由折疊性質(zhì)可證，設(shè)．根據(jù)全等性質(zhì)用x表示出線段關(guān)系，再由中可列方程求解；

（3）如圖，當(dāng)與重合，點(diǎn)在對(duì)角線上時(shí)，有最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)求，由勾股定理求，所以．

解：（1）①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，

是的中垂線，

，

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，

此時(shí)，

故答案為：90，45．

②如圖2中，設(shè)與交于點(diǎn)，由折疊知垂直平分．

，，

矩形，

，

，

，

，

，

，

四邊形是平行四邊形，

四邊形是菱形，

當(dāng)時(shí)，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，則，

在中，，

，

菱形的周長(zhǎng)．

（2）如圖3中，連接，設(shè)．

由折疊知，，，

，，

，

，

，，

在中，

解得．

．

（3）如圖中，連接，，．

，，

，此時(shí)的最小值，

，

，

當(dāng)與重合時(shí)，的值最小，由折疊得：，

由勾股定理得：，

，

當(dāng)，，共線時(shí)，有最小值，

，

則的最小值是1．