Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A是拋物線y= x2上的一個動點，且點A在第一象限內．AE⊥y軸于點E，點B坐標為（0，2），直線AB交x軸于點C，點D與點C關于y軸對稱，直線DE與AB相交于點F，連結BD．設線段AE的長為m，△BED的面積為S．

（1）當m= 時，求S的值．
（2）求S關于m（m≠2）的函數解析式．
（3）①若S= 時，求 的值；
②當m＞2時，設 =k，猜想k與m的數量關系并證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A在二次函數y= x2的圖象上，AE⊥y軸于點E，且AE=m，

∴點A的坐標為（m， m2），

當m= 時，點A的坐標為（ ，1），

∵點B的坐標為（0，2），

∴BE=OE=1．

∵AE⊥y軸，

∴AE∥x軸，

∴△ABE∽△CBO，

∴ = ，

∴CO=2 ，

∵點D和點C關于y軸對稱，

∴DO=CO=2 ，

∴S= BEDO= ×1×2 =

（2）

解：（i）當0＜m＜2時（如圖1），

∵點D和點C關于y軸對稱，

∴△BOD≌△BOC，

∵△BEA∽△BOC，

∴△BEA∽△BOD，

∴ ，即BEDO=AEBO=2m．

∴S= BEDO= ×2m=m；

（ii）當m＞2時（如圖2），

同（i）解法得：S= BEDO= AEOB=m，

由（i）（ii）得，

S關于m的函數解析式為S=m（m＞0且m≠2）．

（3）

解：①如圖3，連接AD，

∵△BED的面積為 ，

∴S=m= ，

∴點A的坐標為（ ， ），

∵ = = =k，

∴S△ADF=kS△BDF，S△AEF=kS△BEF，

∴ = = =k，

∴k= = = ；

②k與m之間的數量關系為k= m2，

如圖4，連接AD，

∵ = = =k，

∴S△ADF=kS△BDF，S△AEF=kS△BEF，

∴ = = =k，

∵點A的坐標為（m， m2），S=m，

∴k= = = m2（m＞2）．

【解析】（1）首先可得點A的坐標為（m， m2），繼而可得點E的坐標及BE、OE的長度，易得△ABE∽△CBO，利用對應邊成比例求出CO，根據軸對稱的性質得出DO，繼而可求解S的值；（2）分兩種情況討論，（I）當0＜m＜2時，將BEDO轉化為AEBO，求解；（II）當m＞2時，由（I）的解法，可得S關于m的函數解析式；（3）①首先可確定點A的坐標，根據 = = =k，可得S△ADF=kS△BDFS△AEF=kS△BEF ， 從而可得 = = =k，代入即可得出k的值；②可得 = = =k，因為點A的坐標為（m， m2），S=m，代入可得k與m的關系．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�