Question

【題目】如圖，已知直線(xiàn)y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線(xiàn)過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D．

（1）若拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣2x2+2x+4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱(chēng)軸交AB于點(diǎn)N．

①求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線(xiàn)，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿(mǎn)足條件的拋物線(xiàn)的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①點(diǎn)N坐標(biāo)為（，3）；②不存在．理由見(jiàn)解析；（2）存在．滿(mǎn)足條件的拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．

【解析】

（1）①將拋物線(xiàn)配成頂點(diǎn)式可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)M再通過(guò)在對(duì)稱(chēng)軸上求出N的坐標(biāo);

②易得，通過(guò)將點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)設(shè)出來(lái)可得，由PD∥MN，可知PD=MN時(shí)，四邊形MNPD是平行四邊形；求值后通過(guò)比較與的大小可判斷四邊形MNPD是否為菱形;

（2）先由點(diǎn)P的坐標(biāo)求出，然后將拋物線(xiàn)解析式設(shè)為y=ax2+bx+4，再由得到，求出由∠DPB=∠OBA，可對(duì)相似三角形進(jìn)行分類(lèi)討論，分別求出值即可.

（1）①如圖1，

∴頂點(diǎn)為M的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)N坐標(biāo)為

②不存在．

理由如下：

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則

∴

∵PD∥MN，

當(dāng)PD=MN時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形，即解得（舍去）， 此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為

∵

∴PN≠M(fèi)N，

∴平行四邊形MNPD不為菱形，

∴不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形；

（2）存在．

如圖2，

OB＝4，OA＝2，則

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2x+4＝2，則P（1，2），

∴

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+bx+4，

把A（2，0）代入得4a+2b+4＝0，解得b＝﹣2a﹣2，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2﹣2（a+1）x+4，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝ax2﹣2（a+1）x+4＝a﹣2a﹣2+4＝2﹣a，則D（1，2﹣a），

∴

∵DC∥OB，

∴∠DPB＝∠OBA，

∴當(dāng)時(shí)，△PDB∽△BOA，即，解得，此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為

當(dāng)時(shí)，△PDB∽△BAO，即，解得，此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為

綜上所述，滿(mǎn)足條件的拋物線(xiàn)的解析式為或