Question

課題：兩個(gè)重疊的正多邊形，其中的一個(gè)繞某一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問(wèn)題．
實(shí)驗(yàn)與論證
設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A₁A₀B₁=α（α＜∠A₁A₀B₁），θ₁，θ₂，θ₃，θ₄，θ₅，θ₆所表示的角如圖所示．

（1）用含α的式子表示：θ₃=

60°-α

，θ₄=

α

，θ₅=

36°-α

；θ₆=

α

，
（2）圖1中，連接A₀H時(shí)，在不添加其他輔助線的情況下，直線A₀H是否垂直平分線段A₂B₁？
答：

是

；請(qǐng)說(shuō)明你的理由；
歸納與猜想
設(shè)正n邊形A₀A₁A₂…A_n-1與正n邊形A₀B₁B₂…B_n-1重合（其中，A₁與B₁重合），現(xiàn)將正n邊形A₀B₁B₂…B_n-1繞頂點(diǎn)A₀逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜

180°

n

）．
（3）設(shè)θ_n與上述“θ₃，θ₄，…”的意義一樣，請(qǐng)直接寫出θ_n的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由正三角形的性質(zhì)得α+θ₃=60°，再由正方形的性質(zhì)得θ₄=45°-（45°-α）=α，最后由正五邊形的性質(zhì)得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在圖1中直線A₀H垂直且平分的線段A₂B₁，由于△A₀A₁A₂與△A₀B₁B₂是全等的等邊三角形，推得A₂H=B₁H，則點(diǎn)H在線段A₂B₁的垂直平分線上；由A₀A₂=A₀B₁，則點(diǎn)A0在線段A₂B₁的垂直平分線上，從而得出直線A₀H垂直且平分的線段A₂B₁
（3）規(guī)律：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，θ_n=

180°

n

-α；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，θ_n=α．

解答：解：（1）60°-α，α，36°-α．α；

（2）是                    
圖1中直線A₀H垂直平分A₂B₁，證明如下：
證明：∵△A₀A₁A₂與△B₀B₁B₂是全等的等邊三角形，
∴A₀A₂=A₀B₁，
∴∠A₀A₂B₁=∠A₀B₁A₂．
又∵△A₀A₁A₂與△A₀B₁B₂是等邊三角形，
∴∠A₀A₂H=∠A₀B₁H=60°．
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂．
∴A₂H=B₁H．
∴點(diǎn)H在線段A₂B₁的垂直平分線上．
又∵A₀A₂=A₀B₁，
∴點(diǎn)A₀在線段A₂B₁的垂直平分線上．
∴直線A₀H垂直平分A₂B₁． 

（3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，θn=

180°

n

-α；   
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，θ_n=α．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．