Question

（2010•江西）課題：兩個重疊的正多形，其中的一個繞某一頂點旋轉所形成的有關問題．
實驗與論證：
設旋轉角∠A₁AB₁=α（α＜∠A₁AA₂），θ₃、θ₄、θ₅、θ₆所表示的角如圖所示．

（1）用含α的式子表示解的度數：θ₃=______，θ₄=______，θ₅=______；
（2）圖1-圖4中，連接AH時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線AH垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇其中的一個圖給出證明；若不存在，請說明理由；
歸納與猜想：
設正n邊形AA₁A₂…A_n-1與正n邊形AB₁B₂…B_n-1重合（其中，A₁與B₁重合），現將正邊形AB₁B₂…B_n-1繞頂點A逆時針旋轉α（0°＜α＜°）；
（3）設θ_n與上述“θ₃、θ₄、…”的意義一樣，請直接寫出θ_n的度數；
（4）試猜想在正n邊形的情形下，是否存在與直線AH垂直且被它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應的頂點字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正三角形的性質得α+θ₃=60°，再由正方形的性質得θ₄=45°-（45°-α）=α，最后由正五邊形的性質得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在圖1中直線AH垂直且平分的線段A₂B₁，△AA₁A₂≌△AB₁B₂，推得A₂H=B₁H，則點H在線段A₂B₁的垂直平分線上；由AA₂=AB₁，則點A0在線段A₂B₁的垂直平分線上，從而得出直線AH垂直且平分的線段A₂B₁
（3）當n為奇數時，θ_n=-α；
當n為偶數時，θ_n=α
（4）多寫幾個總結規(guī)律：
當n為奇數時，直線AH垂直平分，
當n為偶數時，直線AH垂直平分
解答：解：（1）60°-α，α，36°-α

（2）存在．下面就所選圖形的不同分別給出證明：
選圖如，圖中有直線AH垂直平分A₂B₁，證明如下：
方法一：
證明：∵△AA₁A₂與△AB₁B₂是全等的等邊三角形
∴AA₂=AB₁
∴∠AA₂B₁=∠AB₁A₂
又∠AA₂H=∠AB₁H=60°
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂
∴A₂H=B₁H，∴點H在線段A₂B₁的垂直平分線上
又∵AA₂=AB₁，∴點A0在線段A₂B₁的垂直平分線上
∴直線AH垂直平分A₂B₁
方法二：
證明：∵△AA₁A₂與△AB₁B₂是全等的等邊三角形
∴AA₂=AB₂
∴∠AA₂B₁=∠AB₁A₂
又∠AA₂H=∠AB₁H=60°
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂
∴A₂H=B₁H，
在△AA₂H與△AB₁H中
∵AA₂=AB₁，
HA₂=HB₁，∠A0A₂H=∠AB₁H
∴△AA₂H≌△AB₁H
∴∠AA₂H=∠B₁A₂H
∴AH是等腰三角形AA₂B₁的角平分線，
∴直線AH垂直平分A₂B₁選圖如，圖中有直線AH垂直平分A₂B₂，證明如下：
∵AB₂=AA₂∴∠AB₂A₂=∠AA₂B₂
又∵∠AB₂B₁=∠AA₂A₃
∴∠HB₂A₂=∠HA₂B₂
∴HB₂=HA₂
∴點H在線段A₂B₂的垂直平分線上
又∵AB₂=AA₂，∴點A在線段A₂B₂的垂直平分線上
∴直線AH垂直平分A₂B₂

（3）當n為奇數時，θ_n=-α；
當n為偶數時，θ_n=α．

（4）存在．
當n為奇數時，直線AH垂直平分，
當n為偶數時，直線AH垂直平分
點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．