Question

【題目】已知拋物線y=ax2﹣2ax+c與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（﹣1，0），O是坐標原點，且|OC|=3|OA|

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；
（3）如圖1，D為y軸的負半軸上的一點，且OD=2，以OD為邊作正方形ODEF．將正方形ODEF以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，在運動過程中，設正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運動的時間為t秒（0＜t≤2）．
求：①s與t之間的函數(shù)關系式；
②在運動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由．
（4）如圖2，點P（1，k）在直線BC上，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

答案

解：∵A（﹣1，0），|OC|=3|OA|

∴C（0，﹣3）

∵拋物線經過A（﹣1，0），

C（0，﹣3）

∴

∴

∴y=x2﹣2x﹣3

；

答案

解：∵A（﹣1，0），|OC|=3|OA|

∴C（0，﹣3）

∵拋物線經過A（﹣1，0），

C（0，﹣3）

∴

∴

∴y=x2﹣2x﹣3

；答案；解：∵A（﹣1，0），|OC|=3|OA|

∴C（0，﹣3）

∵拋物線經過A（﹣1，0），

C（0，﹣3）

∴

∴

∴y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：）由（1）的拋物線知：點B（3，0）；

設直線BC的解析式為：y=kx﹣3，代入B點坐標，得：

3k﹣3=0，解得 k=1

∴直線BC的函數(shù)表達式為y=x﹣3

（3）

解：當正方形ODEF的頂點D運動到直線BC上時，設D點的坐標為（m，﹣2），

根據(jù)題意得：﹣2=m﹣3，∴m=1．

①當0＜t≤1時，正方形和△OBC的重合部分是矩形；

∵OO1=t，OD=2

∴S1=2t；

當1＜t≤2時，正方形和△OBC的重合部分是五邊形，如右圖；

∵OB=OC=3，∴△OBC、△D1GH都是等腰直角三角形，∴D1G=D1H=t﹣1；

S2=S矩形DD1O1O﹣S△D1HG=2t﹣ ×（t﹣1）2=﹣ t2+3t﹣ ．

②由①知：

當0＜t≤1時，S=2t的最大值為2；

當1＜t≤2時，S=﹣ t2+3t﹣ =﹣ （t﹣3）2+4，由于未知數(shù)的取值范圍在對稱軸左側，且拋物線的開口向下；

∴當t=2時，函數(shù)有最大值，且值為 S=﹣ +4= ＞2．

綜上，當t=2秒時，S有最大值，最大值為

（4）

解：

由（2）知：點P（1，﹣2）．假設存在符合條件的點M；

①當AM PN時，點N、P的縱坐標相同，即點N的縱坐標為﹣2，代入拋物線的解析式中有：

x2﹣2x﹣3=﹣2，解得 x=1± ；

∴AM=NP= ，

∴M1（﹣ ﹣1，0）、M2（ ﹣1，0）．

②當AN PM時，平行四邊形的對角線PN、AM互相平分；

設M（m，0），則 N（m﹣2，2），代入拋物線的解析式中，有：

（m﹣2）2﹣2（m﹣2）﹣3=2，解得 m=3± ；

∴M3（3﹣ ，0）、M4（3+ ，0）．

綜上，存在符合條件的M點，且坐標為：

M1（﹣ ﹣1，0）、M2（ ﹣1，0）、M3（3﹣ ，0）、M4（3+ ，0）．

【解析】（1）首先由OC、OA的數(shù)量關系確定點C的坐標，即可利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．（2）由（1）的拋物線解析式可得點B的坐標，而點C的坐標已經求得，由待定系數(shù)法求解即可．（3）①首先要明確正方形ODEF和△OBC重合部分的形狀：當點D在△OBC內部時，兩者的重合部分是矩形；當點D在△OBC外部時，兩者的重合部分是五邊形，其面積可由正方形的面積減去△DGH的面積（G、H分別為ED、OD和線段BC的交點）．在判斷t的取值范圍時，要注意一個“關鍵點”：點D位于線段BC上時．②根據(jù)①的函數(shù)性質即可得到答案，要注意未知數(shù)的取值范圍．（4）若存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形，那么應分：AM PN或AN PM兩種情況，由于AM在x軸上，結合平行四邊形的特點可知：無論哪種情況，點N到x軸的距離都等于點P到x軸的距離，根據(jù)這個特點可確定點M、N的坐標．
【考點精析】關于本題考查的二次函數(shù)圖象的平移，需要了解平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減才能得出正確答案．