【題目】如圖,平面直角坐標系中,直線ABy軸于點,交x軸于點B

1)求直線AB的表達式和點B的坐標;

2)直線l垂直平分OBAB于點D,交x軸于點E,點P是直線l上一動點,且在點D的上方,設點P的縱坐標為n

①當時,求點P的坐標;

②在①的條件下,以PB為斜邊在第一象限作等腰直角,求點C的坐標.

【答案】1)(4,0);(2)①(2,6);②(64

【解析】

1)把點A的坐標代入直線解析式可求得b=4,則直線的解析式為y=-x+4,令y=0可求得x=4,故此可求得點B的坐標;
2)①由題l垂直平分OB可知OE=BE=2,將x=2代入直線AB的解析式可求得點D的坐標,設點P的坐標為(2,n),然后依據(jù)SAPB=SAPD+SBPD可得到△APB的面積與n的函數(shù)關系式為SAPB=2n-4;由SABP=8得到關于n的方程可求得n的值,從而得到點P的坐標;
②如圖1所示,過點CCMl,垂足為M,再過點BBNCM于點N.設點C的坐標為(p,q),先證明△PCM≌△CBN,得到CM=BN,PM=CN,然后由CM=BNPM=CN列出關于p、q的方程組可求得pq的值;如圖2所示,同理可求得點C的坐標.

解:(1)∵把A0,4)代入y=-x+bb=4,

∴直線AB的函數(shù)表達式為:y=-x+4

y=0得:-x+4=0,解得:x=4,

∴點B的坐標為(40);

2)①∵l垂直平分OB,
OE=BE=2
∵將x=2代入y=-x+4得:y=-2+4=2
∴點D的坐標為(2,2).
∵點P的坐標為(2,n),
PD=n-2
SAPB=SAPD+SBPD,
SABP=PDOE+PDBE=n-2×2+n-2×2=2n-4

SABP=8,

2n-4=8,解得:n=6.∴點P的坐標為(2,6).

②如圖1所示:過點CCMl,垂足為M,再過點BBNCM于點N

設點Cp,q).

∵△PBC為等腰直角三角形,PB為斜邊,

PC=PB,∠PCM+MCB=90°,

CMlBNCM,

∴∠PMC=BNC=90°,∠MPC+PCM=90°

∴∠MPC=NCB

PC=BC,


∴△PCM≌△CBN
CM=BN,PM=CN
,解得
∴點C的坐標為(6,4).
如圖2所示:過點CCMl,垂足為M,再過點BBNCM于點N

設點Cp,q).
∵△PBC為等腰直角三角形,PB為斜邊,
PC=CB,∠PCM+MCB=90°
CMl,BNCM
∴∠PMC=BNC=90°,∠MPC+PCM=90°
∴∠MPC=NCB
在△PCM和△CBN中,
,
∴△PCM≌△CBN
CM=BN,PM=CN
,解得
∴點C的坐標為(02)舍去.
綜上所述點C的坐標為(6,4).

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