Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），與x軸相交于另一點(diǎn)B．
（1）求：二次函數(shù)y₁的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若將拋物線y₁以x=3為對稱軸向右翻折后，得到一個(gè)新的二次函數(shù)y₂，已知二次函數(shù)y₂與x軸交于兩點(diǎn)，其中右邊的交點(diǎn)為C點(diǎn)．點(diǎn)P在線段OC上，從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交直線AO于D點(diǎn)，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動(dòng)）；
①當(dāng)點(diǎn)E在二次函數(shù)y₁的圖象上時(shí)，求OP的長．
②若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，同時(shí)線段OC上另一個(gè)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度（當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）．過Q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AC交于G點(diǎn)，以QG為邊在QG的左側(cè)作正方形QGMN（當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G、點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動(dòng)），若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，兩個(gè)正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上的邊除外），求此刻t的值．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），
∴將（0，0），代入得出：
c=0，
將（1，2）代入得出：
a+3=2，
解得：a=-1，
故二次函數(shù)解析式為：y₁=-x²+3x，
∵圖象與x軸相交于另一點(diǎn)B，
∴0=-x²+3x，
解得：x=0或3，
則B（3，0）；

（2）①由已知可得C（6，0）
如圖：過A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴=，
即=，
∴PD=2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函數(shù)y₁=-x²+3x的圖象上，
∴a=；
即OP=．

②如圖1：

當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)N重合時(shí)，有OF+CN=6，
∵直線AO過點(diǎn)（1，2），
故直線解析式為：y=2x，
當(dāng)OP=t，
則AP=2t，
∵直線AC過點(diǎn)（1，2），（6，0），
代入y=ax+b，
，
解得：，
故直線AC的解析式為：y=-x+，
∵當(dāng)OP=t，QC=2t，
∴QO=6-2t，
∴GQ=-（6-2t）+=t，
即NQ=t，
∴OP+PN+NQ+QC=6，
則有3t+2t+t=6，
解得：t=；
如圖2：

當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)Q重合時(shí)，有OF+CQ=6，則有3t+2t=6，
解得：t=；
如圖3：

當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)N重合時(shí)，有OP+CN=6，則有t+2t+t=6，
解得：t=，
如圖4：

當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時(shí)，有OP+CQ=6，則有t+2t=6，
解得：t=2．
故此刻t的值為：t₁=，t₂=，t₃=，t₄=2．
分析：（1）利用二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），分別代入求出a，c的值即可；
（2）①過A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，根據(jù)DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進(jìn)而求出OP的長；
②分別利用當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)N重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)Q重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)N重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時(shí)，求出t的值即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)已知結(jié)合圖象分類討論得出t的值是解題關(guān)鍵．