Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AB=4，矩形OBDC的邊CD=1，延長DC交拋物線于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)P是直線EO上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線EO于點(diǎn)G，作PH⊥EO，垂足為H．設(shè)PH的長為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求l與m的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出m的取值范圍），并求出l的最大值；

（3）如果點(diǎn)N是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以M，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+，;（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．

【解析】試題分析：（1）由條件可求得A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）可先求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的長，從而可表示出l的長，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；

（3）分AC為邊和AC為對角線，當(dāng)AC為邊時(shí)，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，則可證得△MFN≌△AOC，可求得M到對稱軸的距離，從而可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)AC為對角線時(shí)，設(shè)AC的中點(diǎn)為K，可求得K的橫坐標(biāo)，從而可求得M的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵矩形OBDC的邊CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：，解得：，∴拋物線解析式為；

（2）在中，令y=2可得2=，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直線OE解析式為y=﹣x，由題意可得P（m，），∵PG∥y軸，∴G（m，﹣m），∵P在直線OE的上方，∴PG=﹣（﹣m）==，∵直線OE解析式為y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=PG= []=，∴當(dāng)m=時(shí)，l有最大值，最大值為；

（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，則有MN∥AC，且MN=AC，如圖，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，設(shè)AC交對稱軸于點(diǎn)L，則∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中，∵∠MFN=∠AOC，∠FNM=∠ACO，MN=AC，∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴點(diǎn)M到對稱軸的距離為3，又，∴拋物線對稱軸為x=﹣1，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣，當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣）或（﹣4，﹣）；

②當(dāng)AC為對角線時(shí)，設(shè)AC的中點(diǎn)為K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵點(diǎn)N在對稱軸上，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為﹣1，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此時(shí)y=2，∴M（﹣2，2）；

綜上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．