Question

如圖，直線y＝2x－2與x軸交于點(diǎn)A，拋物線y＝ax²＋bx＋c的對稱軸是直線x＝3，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，且頂點(diǎn)P在直線y＝2x－2上．

（1）求A、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線y＝ax²＋bx＋c的解析式；
（2）畫出拋物線的草圖，并觀察圖象寫出不等式ax²＋bx＋c＞0的解集．

Answer 1

（1）A（1，0），P（3，4），y＝－x²＋6x－5；（2）1＜x＜5

解析試題分析：（1）把y＝0、x＝3分別代入y＝2x－2，即可求得A、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)出頂點(diǎn)式，再將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求得拋物線的解析式，最后化為一般式即可；
（2）先畫出拋物線的草圖，再求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)圖象的特征即可求得結(jié)果.
（1）對于y＝2x－2，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1．
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝4．
∴ A（1，0），P（3，4）．
設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－3)²＋4．
將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得a(1－3)²＋4＝0，解得a＝－1
∴ 拋物線的解析式為 y＝－(x－3)²＋4，
即 y＝－x²＋6x－5．
（2）拋物線的草圖如圖所示：

解方程－x²＋6x－5＝0，得x₁＝1，x₂＝5．
∴ 不等式－x²＋6x－5＞0的解集是1＜x＜5．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象
點(diǎn)評：在求二次函數(shù)的解析式的問題時(shí)，若知道圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸，解析式一般設(shè)成頂點(diǎn)式.