Question

如圖所示，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且 AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．
（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：MN=AM+BN；
（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，寫出線段AM、BN與MN之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用互余關(guān)系證明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可證△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，利用線段的和差關(guān)系證明結(jié)論；
（2）類似于（1）的方法，證明△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN與MN之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：證明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中
∵

∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB

，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，MC=NB，
∵M(jìn)N=NC+CM，
∴MN=AM+BN；
（2）結(jié)論：MN=NB-AM，理由為：
證明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中
∵

∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB

，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，MC=NB，
∵M(jìn)N=CM-CN，
∴MN=BN-AM．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等量代換的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．