Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm．D是BC邊上的一個動點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE，在點(diǎn)D變化的過程中，線段BE的最小值是(　　)

A.2.5B.C.D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

由∠AEC＝90°知E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），從而得BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)E′點(diǎn)），作MF⊥AB于F，證△AMF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到MF，根據(jù)勾股定理得到AF，BF，BM，于是得到結(jié)論．

解：如圖，取AC的中點(diǎn)M，以AC為直徑作圓M，交AB于點(diǎn)N，連接BM，交圓M于點(diǎn)E′，過M作MF⊥AB于點(diǎn)F，

由題意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），
∴BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)E′點(diǎn)），
∵AB＝13cm，AC＝12cm，BC＝5cm，
∴AC2＋BC2＝AB2，AM=CM=6
∴∠ACB＝90°，
作MF⊥AB于F，
∴∠AFM＝∠ACB＝90°，∠FAM＝∠CAB，
∴△AMF∽△ABC，
∴，即，解得：MF=，
∴AF＝，

則BF＝ABAF＝，
∴BM＝，

∵ME＝6，
∴BE長度的最小值BE′＝BMME′＝，
故答案為：C．