Question

【題目】如圖，是等邊三角形，，點(diǎn)是射線上任意點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)．

（1）如圖①，猜想的度數(shù)是__________；

（2）如圖②，圖③，當(dāng)是銳角或鈍角時(shí)，其他條件不變，猜想的度數(shù)，并選取其中一種情況進(jìn)行證明；

（3）如圖③，若，，，則的長(zhǎng)為__________．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)解析；（3） ．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，°，從而得出，然后利用SAS即可證出，最后利用對(duì)頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，°，從而得出，然后利用SAS即可證出，最后利用對(duì)頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；

（3）設(shè)EC和FO交于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，°，從而得出、∠DCG=45°、∠BEC=30°，然后利用SAS即可證出，從而可求∠FGC=90°，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可得出結(jié)論．

解：（1） ∵是等邊三角形，

∴，．

∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,

∴，°．

∴，

即．

在和中

∴．

∴．

又，，．

∴．

（2）．

證明：如圖②，是等邊三角形，

∴，．

∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,

∴，°．

∴，

即．

在和中

∴．

∴．

又，，．

∴．

（3）設(shè)EC和FO交于點(diǎn)G

∵是等邊三角形，

∴，．

∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,

∴，°．

∴，

即．

∴∠DCG=∠ECF－∠DCF=45°

∵

∴∠BEC=180°－∠ABC－∠BCE=30°

在和中

∴．

∴=30°

∴∠FGC=180°－∠F－∠ECF=90°

∴△CGD為等腰直角三角形，CG= DG

∴CG 2+DG2=CD2

即2CG2=62

解得：CG= DG=

在Rt△FGC中，FC=2CG =，FG=

∴DF=FG－DG=－