Question

如圖1，已知拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（0，2），此拋物線的對稱軸為直線x=2，點A的坐標為（1，0）．
（1）求B點坐標以及△ABC的面積；
（2）求拋物線的解析式；
（3）過點C作x軸的平行線交此拋物線的對稱軸于點D，你能判斷四邊形ABDC是什么四邊形嗎？并證明你的結(jié)論；
（4）若一個動點P自O(shè)C的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點（設(shè)為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設(shè)為點F），最后運動到點C，求使點P運動的總路徑（ME+EF+FC）最短的點E、F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的對稱軸x=2，點A的坐標為（1，0）因此點B（3，0）．AB=2，已知了OC=2，則S_△ABC=

1

2

AB•OC=2．
（2）已知了A、B、C三點的坐標，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）是平行四邊形，由于CD∥AB，證AB=CD即可．
（4）本題可根據(jù)兩點之間線段最短和軸對稱的性質(zhì)來求解．
可做C點關(guān)于直線x=2的對稱點C′，做M點關(guān)于x軸的對稱點M′，連接C′M′．那么E、F就是直線C′M′與x軸和拋物線對稱軸的交點，可先求出直線C′M′的解析式，進而可求出E、F的坐標．

解答：解：（1）B（3，0），S=2．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），
則有2=a（0-1）（0-3），a=

2

3

∴y=

2

3

x²-

8

3

x+2．

（3）平行四邊形（理由：AB∥CD，AB=CD=2）

（4）做C點關(guān)于直線x=2的對稱點C′，做M點關(guān)于x軸的對稱點M′，連接C′M′．
則E、F分別為直線C′M′與x軸和拋物線對稱軸的交點．
則有C′（4，2），M′（0，-1）；最短長度=C'M'=5，
設(shè)直線C′M′的解析式為y=kx-1，
有：2k-1=2，k=

3

4

∴y=

3

4

x-1
∴E（

4

3

，0），F(xiàn)（2，

1

2

）．

點評：本題考查了拋物線解析式的確定、平行四邊形的性質(zhì)等知識點．