Question

正方形的邊長為4，、分別是、上的兩個動點，當點在上運動時，始終保持和垂直，

（1）證明：；
（2）設，梯形的面積為，求與之間的函數(shù)關系式；當點運動到什么位置時，四邊形面積最大，并求出最大面積；
（3）當點運動到什么位置時，？并求出此時BM的長．

Answer 1

（1）證明見解析（2）當點為BC中點時，四邊形面積最大，最大面積是10（3）當點運動到的中點時，，

證明（1）在正方形中




在中，

··························· 4分
（2）



當時，取最大值，最大值為10.······················ 8分
當點為BC中點時，四邊形面積最大，最大面積是10；
（3）
要使，必須有
由（1）知
當點運動到的中點時，.
此時，
（1）要證三角形ABM和MCN相似，就需找出兩組對應相等的角，已知了這兩個三角形中一組對應角為直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此這兩個角也相等，據(jù)此可得出兩三角形相似．
（2）根據(jù)（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例關系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的長表示出CM，然后根據(jù)比例關系式求出CN的表達式．這樣直角梯形的上下底和高都已得出，可根據(jù)梯形的面積公式得出關于y，x的函數(shù)關系式．然后可根據(jù)函數(shù)的性質得出y的最大值即四邊形ABCN的面積的最大值，以及此時對應的x的值，也就可得出BM的長．
（3）已知了這兩個三角形中相等的對應角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么兩組直角邊就應該對應成比例，即AM：MN=AB：BM，根據(jù)（1）的相似三角形可得出AM：MN=AB：MC，因此BM=MC，M是BC的中點．即BM=2