Question

【題目】已知是邊長為的等邊三角形，點是射線上的動點，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接.

(1)如圖1，猜想是什么三角形？ ______；(直接寫出結(jié)果)

(2)如圖2，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)當為何值時，，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形；（2）AC+CD=CE，理由見詳解；（3）BD為2或8時，∠DEC=30°，理由見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE，∠DAE=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理解答；

（2）證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，結(jié)合圖形計算即可；

（3）根據(jù)題意，分為點D在線段BC上和點D在線段BC的延長線上兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答；

解：（1）由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，AD=AE，∠DAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

故答案為：等邊三角形；

（2）AC+CD=CE，

證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠DAE=60°，AD=AE，

∵△ABC是等邊三角形

∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，

∴∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE，

∴CE=BD=CB+CD=CA+CD；

（3）BD為2或8時，∠DEC=30°，

當點D在線段BC上時，

∵∠DEC=30°，∠AED=60°，

∴∠AEC=90°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，又∠B=60°，

∴∠BAD=30°，

∴BD=AB=2；

當點D在線段BC的延長線上時，

∵∠DEC=30°，∠AED=60°，

∴∠AEC=30°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=30°，又∠B=60°，

∴∠BAD=90°，

∴BD=2AB=8，

∴BD為2或8時，∠DEC=30°；