【題目】已知等腰直角和等腰直角如圖放置，，，，其中，、、在一條直線上，連接并延長交于，

(1)求證:

(2)與有什么位置關(guān)系？請說明理由.

(3)若，與有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）BF⊥AC，理由見解析；（3）BF＝2AE，理由見解析.

【解析】

（1）利用SAS定理證明△BDF≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DBF＝∠DAC，得到∠BEA＝90°即可證明；

（3）根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AE＝AC，結(jié)合（1）中結(jié)論證明即可．

解答：（1）證明：

在△BDF和△ADC中，，

∴△BDF≌△ADC（SAS）

∴BF＝AC；

（2）BF⊥AC，

理由：∵△BDF≌△ADC，

∴∠DBF＝∠DAC，

∵∠DBF＋∠DFB＝90°，∠DFB＝∠EFA，

∴∠EFA＋∠DAC＝90°，

∴∠BEA＝90°，

∴BF⊥AC；

（3）若AB＝BC，BF＝2AE，

理由：∵AB＝BC，BF⊥AC，

∴AE＝AC，

∵BF＝AC，

∴BF＝2AE．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題．下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用．

探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集

（1）探究|x﹣1|的幾何意義

如圖①，在以O為原點(diǎn)的數(shù)軸上，設(shè)點(diǎn)A′對應(yīng)的數(shù)是x﹣1，有絕對值的定義可知，點(diǎn)A′與點(diǎn)O的距離為

|x﹣1|，可記為A′O=|x﹣1|．將線段A′O向右平移1個單位得到線段AB，此時點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是x，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是1．因?yàn)?/span>AB=A′O，所以AB=|x﹣1|，因此，|x﹣1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)A與1所對應(yīng)的點(diǎn)B之間的距離AB．

（2）求方程|x﹣1|=2的解

因?yàn)閿?shù)軸上3和﹣1所對應(yīng)的點(diǎn)與1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都為2，所以方程的解為3，﹣1．

（3）求不等式|x﹣1|＜2的解集

因?yàn)?/span>|x﹣1|表示數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個距離小于2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)x的范圍．請寫出這個解集：_________________________________．

探究二：探究的幾何意義

（1）探究的幾何意義

如圖③，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，則，因此，的幾何意義可以理解為點(diǎn)M（x，y）與點(diǎn)O（0，0）之間的距離MO．

（2）探究的幾何意義

如圖④，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）可知，，將線段A′O先向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到線段AB，此時點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），因?yàn)?/span>AB=A′O，所以，因此的幾何意義可以理解為點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（1，5）之間的距離AB．

（3）探究的幾何意義，根據(jù)探究二（2）所得的結(jié)論，請寫出的幾何意義可以理解為：________________．

（4）的幾何意義可以理解為：________________________________．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：

①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=S△FGH；④AG+DF=FG．

其中正確的是__．（把所有正確結(jié)論的序號都選上）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG，E點(diǎn)正好落在邊CD上，連接BE，BG，且BG交AE于P．

（1）求證：∠CBE=∠BAE；

（2）求證：PG=PB；

（3）若AB=，BC=3，求出BG的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）若∠EOD=30°，求CE的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，點(diǎn)H、G分別是邊CD、BC上的動點(diǎn)．連接AH、HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF則EF的最大值與最小值的差為__________．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），、分別平分和交于點(diǎn)、.

（1）請說明：；

（2）當(dāng)點(diǎn)在上移動時，請寫出和之間滿足的數(shù)量關(guān)系為______；

（3）若，則當(dāng)點(diǎn)移動到使得時，請直接寫出______（用含的代數(shù)式表示）.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2a，∠AMN=40°，點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上的一個動點(diǎn)，則 PA+PB的最小值為_____．（用含a的代數(shù)式表示）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】說明：在解答“結(jié)論應(yīng)用”時，從（A），（B）兩題中仸選一題做答．

問題探究

啟知學(xué)習(xí)小組在課外學(xué)習(xí)時，發(fā)現(xiàn)了這樣一個問題：如圖（1），在四邊形ABCD中，連接AC，BD，如果△ABC與△BCD的面積相等，那么AD∥BC．在小組交流時，他們在圖（1）中添加了如圖所示的輔助線，AE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．請你完成他們的證明過程．

結(jié)論應(yīng)用

在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1,4），B（a，b）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D．

（A）（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖（2），已知b＝1，AC，BD相交于點(diǎn)E，求證：CD∥AB．

（B）（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖（3），若點(diǎn)B在第三象限，判斷并證明CD與AB的位置關(guān)系．

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