Question

【題目】如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為菱形，且∠EAG＝∠ABC．

（1）如圖1，點(diǎn)G在線(xiàn)段AD上，已知AD＝5，AG＝3，且cos∠ABC＝ ，連接AF，BF，求BF的長(zhǎng)；

（2）如圖2，點(diǎn)G在菱形ABCD內(nèi)部，連接BG、DE，若點(diǎn)M為DE中點(diǎn)，試猜想AM與BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）BF=；（2）BG＝2AM，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由cos∠ABC＝得到∠EAG＝∠ABC＝60°，由AF為菱形對(duì)角線(xiàn)得到AF平分∠EAG，求得∠BAF＝90°．已知AB＝AD＝5，所以在Rt△ABF中只要求出AF即能求出BF．又因?yàn)?/span>AF為菱形對(duì)角線(xiàn)且已知菱形邊長(zhǎng)為3，連接另一對(duì)角線(xiàn)EG，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且∠FAG＝30°即能求出BF．

（2）圖形比較復(fù)雜，關(guān)鍵條件為∠EAG＝∠ABC的運(yùn)用．因?yàn)榱庑沃小?/span>ABC與∠BAD互補(bǔ)，則∠ABC與∠BAD的補(bǔ)角相等，延長(zhǎng)BA構(gòu)造∠DAH＝∠ABC，所以∠EAG＝∠DAH，中間加上公共角∠DAG，易得∠EAD＝∠GAH且EA＝GA，所以使BA的延長(zhǎng)線(xiàn)AH＝AD即能構(gòu)造出△ADE≌△AHG．取GH中點(diǎn)P，則AM、AP為全等三角形對(duì)應(yīng)中線(xiàn)，AM＝AP，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為AP與BG的數(shù)量關(guān)系．又A、P分別為BH、GH中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)定理，BG＝2AP，得證．

解：（1）連接EG，交AF于點(diǎn)O，（如圖1）

∵四邊形AEFG為菱形

∴EG⊥AF，AF＝2OA，AF平分∠EAG

∵cos∠ABC＝，

∴∠EAG＝∠ABC＝60°

∴∠OAG＝∠EAG＝30°

∵AG＝3，∠AOG＝90°

∴OG＝AG＝

∴OA＝＝

∴AF＝2OA＝

∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AD∥BC，AB＝5

∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，AD＝AB＝5

∴∠BAF＝∠BAD﹣∠DAF＝120°﹣30°＝90°

∴BF＝

（2）猜想BG＝2AM，證明如下：

延長(zhǎng)BA至H，使AH＝AB，連接GH，取GH中點(diǎn)P，連接AP，（如圖2）

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為菱形

∴AD＝AB＝AH，AE＝AG，BC∥AD

∴∠ABC＝∠HAD

∵∠EAG＝∠ABC

∴∠EAG＝∠HAD

∴∠EAG+∠DAG＝∠HAD+∠DAG

即∠EAD＝∠GAH

在△ADE與△AHG中

，

∴△ADE≌△AHG（SAS）

∵M是DE中點(diǎn)，P是GH中點(diǎn)，即AM與AP為全等三角形對(duì)應(yīng)中線(xiàn)

∴AM＝AP

∵A為BH中點(diǎn)，

∴AP為△BGH中位線(xiàn)

∴BG＝2AP

∴BG＝2AM