【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是AD上的點(diǎn),點(diǎn)F是BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CF=DE,連結(jié)BE和EF,EF與CD交于點(diǎn)G,且∠FBE=∠FEB.
(1)過點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H,證明: = ;
(2)猜想:BE、AE、EF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)若DG=2,求AE值.
【答案】
(1)
證明:∵在正方形ABCD中,AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBF,
又∵FH⊥BE,
∴∠A=∠BHF=90°,
∴△ABE∽△HFB,
∴ =
(2)
BE2=2AEEF,
證明如下:∵∠FBE=∠FEB,
∴BF=EF,
∵FH⊥BE,
∴FH是等腰△FBE底邊上的中線,
∴BH= BE,
由(1)得, ,
∴
∴BE2=2AEBF;
∵BF=EF,
∴BE2=2AEEF
(3)
解:∵DG═2,
∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,
設(shè)AE=k(0<k<4),
則DE═4﹣k,BF=8﹣k,
在Rt△ABM中,BE2=AB2+AE2=16+k2,
由BE2=2AEBF,得16+k2=2k(8﹣k),
即3k2﹣16k+16=0,解得 k= 或k=4
∵k≠4,
∴AE=
【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AEB=∠EBF,由已知條件得到∠A=∠BHF,根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)已知條件得到FH是等腰△FBE底邊上的高,求得BH= BE,由根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ,等量代換即可得到結(jié)論;(3)由已知條件得到正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,設(shè)AE=k(0<k<2),則DE═4﹣k,BF=8﹣k,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果.
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【題目】2018年在中央“房子是用來住的,不是用來炒”的精神作用下,房子價(jià)格持續(xù)下跌.玲玲家買了一套新房準(zhǔn)備裝修,若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作,需6周完成,共需裝修費(fèi)為5.2萬元;若甲公司單獨(dú)做4周后,剩下的由乙公司來做,還需9周才能完成,共需裝修費(fèi)為4.8萬元.玲玲的爸爸媽媽商量后決定只選一個(gè)公司單獨(dú)完成.
(1)如果從節(jié)約時(shí)間的角度考慮應(yīng)選哪家公司?
(2)如果從節(jié)約開支的角度考慮應(yīng)選哪家公司?
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【題目】如圖所示,在△ABC中,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,DE垂直平分AC,垂足為點(diǎn)E,∠BAD=29°,求∠B的度數(shù).
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【題目】某條道路上通行車輛限速為60千米/時(shí),在離道路50米的點(diǎn)P處建一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn),道路AB段為檢測(cè)區(qū)(如圖).在△ABP中,已知∠PAB=30°,∠PBA=45°,一輛轎車通過AB段的時(shí)間8.1秒,請(qǐng)判斷該車是否超速?(參考數(shù)據(jù): ≈1.41, ≈1.73,60千米/時(shí)= 米/秒)
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【題目】某廠家生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈,為了打開市場(chǎng)出臺(tái)了相關(guān)政策:由廠家協(xié)調(diào),廠家按成本價(jià)提供產(chǎn)品給經(jīng)營(yíng)戶自主銷售,成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由廠家承擔(dān).李明按照相關(guān)政策投資銷售本產(chǎn)品.已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元,出廠價(jià)為每件12元,每月銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù):y=﹣10x+500.
(1)李明在開始銷售的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為20元,那么廠家這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元?
(2)設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為w(元),當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),每月可獲得最大利潤(rùn)?
(3)物價(jià)部門規(guī)定,這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元.如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于3000元,那么廠家為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元?
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【題目】如圖,在△ABC中,AB>AC,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn),點(diǎn)F在BC邊上,連接DE、DF、EF,則添加下列哪一個(gè)條件后,仍無法判斷△FCE與△EDF全等( )
A. ∠A=∠DFE B. BF=CF C. DF∥AC D. ∠C=∠EDF
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【題目】某校計(jì)劃購(gòu)買一批籃球和足球,已知購(gòu)買2個(gè)籃球和1個(gè)足球共需320元,購(gòu)買3個(gè)籃球和2個(gè)足球共需540元.
(1)求每個(gè)籃球和每個(gè)足球的售價(jià);
(2)如果學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買這兩種球共50個(gè),總費(fèi)用不超過5500元,那么最多可購(gòu)買多少個(gè)足球?
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【題目】如圖,將矩形ABCD沿AH折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.折痕與邊BC交于點(diǎn) H,已知AD=8,HC:HB=3:5.
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(2)探究AB與HB之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
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