Question

【題目】如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，4）．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接BP，過(guò)P點(diǎn)作BP的垂線(xiàn)，與過(guò)點(diǎn)Q平行于y軸的直線(xiàn)l相交于點(diǎn)D．BD與y軸交于點(diǎn)E，連接PE．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．

（1）寫(xiě)出∠PBD的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo)（點(diǎn)D的坐標(biāo)用t表示）；

（2）探索△POE周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化，若變化，說(shuō)明理由；若不變，試求這個(gè)定值．

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBE為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）45°，（t，t）．（2）△POE周長(zhǎng)是定值，該定值為8．（3）當(dāng)t為4秒或（4-4）秒時(shí)，△PBE為等腰三角形．

【解析】

試題（1）易證△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個(gè)基本圖形，容易得到EP=AP+CE．容易得到△POE周長(zhǎng)等于AO+CO=8，從而解決問(wèn)題；

（3）EP=AP+CE，由于△PBE底邊不定，故分三種情況討論，借助于三角形全等及勾股定理進(jìn)行求解，然后結(jié)合條件進(jìn)行取舍，最終確定符合要求的t值．

試題解析：（1）如圖1，

由題可得：AP=OQ=1×t=t（秒）

∴AO=PQ．

∵四邊形OABC是正方形，

∴AO=AB=BC=OC，

∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．

∵DP⊥BP，

∴∠BPD=90°．

∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．

∵AO=PQ，AO=AB，

∴AB=PQ．

在△BAP和△PQD中，

∴△BAP≌△PQD（AAS）．

∴AP=QD，BP=PD．

∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°．

∵AP=t，

∴DQ=t．

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，t）．

（2）∵∠EBP=45°

∴由圖1可以得到EP=CE+AP，

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE

=AO+CO

=4+4

=8．

∴△POE周長(zhǎng)是定值，該定值為8．

（3）①若PB=PE，

由△PAB≌△DQP得PB=PD，

顯然PB≠PE，

∴這種情況應(yīng)舍去．

②若EB=EP，

則∠PBE=∠BPE=45°．

∴∠BEP=90°．

∴∠PEO=90°-∠BEC=∠EBC．

在△POE和△ECB中，

∴△POE≌△ECB（AAS）．

∴OE=CB=OC．

∴點(diǎn)E與點(diǎn)C重合（EC=0）．

∴點(diǎn)P與點(diǎn)O重合（PO=0）．

∵點(diǎn)B（-4，4），

∴AO=CO=4．

此時(shí)t=AP=AO=4．

③若BP=BE，

在Rt△BAP和Rt△BCE中，

∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．

∴AP=CE．

∵AP=t，

∴CE=t．

∴PO=EO=4-t．

∵∠POE=90°，

∴PE=．

延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．

在△FAB和△ECB中，

∴△FAB≌△ECB．

∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．

∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠EBC=45°．

∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

=∠EBC+∠ABP=45°．

∴∠FBP=∠EBP．

在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP（SAS）．

∴FP=EP．

∴EP=FP=FA+AP

=CE+AP．

∴EP=t+t=2t．

∴（4-t）=2t．

解得：t=4-4

∴當(dāng)t為4秒或（4-4）秒時(shí)，△PBE為等腰三角形．